（讲义）第4章 4.2 4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

第2课时　等差数列的性质及应用 学习任务 1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理) 2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算) 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位) 知识点1　等差数列的图象 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 1.等差数列的单调性与公差有何关系？ [提示]　若{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 知识点2　等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 2.若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？ [提示]　不一定．如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4. 推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列对应的图象是一条直线． (　　) (2)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，可以看成an关于n的一次函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)× [提示]　(1)等差数列对应的图象是一列孤立的点． (2)当d＝0时数列为常数列也是等差数列． 2．(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　　) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝0 BCD　[∵a1＋a2＋…＋a101＝0， 又 ∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51， ∴101a51＝0， ∴a51＝0，a3＋a99＝a2＋a100＝2a51＝0.] 类型1　等差数列的设法与求解 【例1】　(1)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值． (2)已知四个数依次成等差数列，且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． [解]　(1)设{an}的公差为d，∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5. 又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列， ∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16， 解得d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35，∴a11＋a12＋a13＝3a12＝105. (2)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则 因为该数列是递增数列，所以d>0， 所以解得 故此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. 　设等差数列的三个技巧 (1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d． (2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d． (3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q. [跟进训练] 1．已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． [解]　法一：设这三个数分别为a，b，c，则解得 故这三个数分别为4，6，8. 法二：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知可得 由①得a＝6