（讲义）第4章 4.2 4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 学习任务 1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象) 2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会求等差数列的通项公式．(数学运算) 4．能利用等差数列的通项公式解决相关问题．(数学运算、数学建模) 观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题． 1．我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为 2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…. 2．某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…. 3．全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5. 以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？ 知识点1　等差数列的概念 文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) 等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ [提示]　第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． 知识点2　等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式是 a＋b＝2A． 知识点3　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列{1－3n}的公差d＝1. (　　) (2)所有的等差数列都有通项公式． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ [提示]　(1)数列{1－3n}的公差为－3. (2)由等差数列的定义可知正确． 2．3与5的等差中项为(　　) A．2　　　B．4　　　C．8　　　D． B　[3与5的等差中项为＝4.] 3．(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，… C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，… AC　[根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数．] 4．等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________． 2n－5　[由题知，a1＝－3，d＝2，所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.] 类型1　等差数列的通项公式的有关运算 【例1】　(1)已知a7＝，d＝－2，求a1； (2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. [解]　(1)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝， ∴a1＝. (2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得 故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. 法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得解得 ∴a75＝75×＋4＝24. 反思领悟　求等差数列的通项公式的两种思路 (1)设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式． (2)已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式． 注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式． [跟进训练] 1．在等差数列{an}中，求解下列各题： (1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________； (2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________； (3)已知公差为d，a3＝，a7＝－，则a15＝______．　 (1)10　(2)－　(3)－　[(1)由题意，得a1＋6×＝8，解得a1＝10. (2)依题意可得 解得d＝－. (3)法一：由 得 解得 ∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－. 法二：由a7＝a3＋(7－3)d， 得－＝＋4d，解得d＝－. ∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.] 类型2　等差中项的应用 【例2】　(1)如果3是2a与a－6的等差中项，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 (2)一个等差数列的前4项是1，x，a，2x，则x＝______．　 (3)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项是________． (1)D　(2)2