（讲义）第4章 4.2 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的最值及应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

第2课时　等差数列前n项和的最值及应用 学习任务 能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．(数学运算、数学建模) 等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时) Sn＝n2＋n. 反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？ 根据公式能否求出等差数列前n项和的最大值或最小值？ 知识点1　等差数列前n项和的函数特征 等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝n2＋n，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值 等差数列的 前n项和公 式与二次函 数的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn. ①当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． ②当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． ③当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 知识点2　等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________． －1　[∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1.] 2．设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最_____ (填“大”或“小”)值为________． 大　26　[由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值． 由得n＝4， 则其最大值为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26.] 类型1　等差数列前n项和最值问题的判断 【例1】　(多选)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是(　　) A．若S3＝S11，则必有S14＝0 B．若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项 C．若S7>S8，则必有S8>S9 D．若S7>S8，则必有S6>S8 ABC　[根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0， S14＝＝7(a7＋a8)＝0，A正确； 根据Sn的图象，当S3＝S11时，对称轴是＝7，且d<0， 那么S7是最大值，B正确； 若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0， 即S8>S9，C正确； S8－S6＝a8＋a7＝2a8－d，符号不确定，D错误．故选ABC.] 反思领悟　一般地，在等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大． [跟进训练] 1．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 ABD　[∵S5<S6＝S7>S8， ∴a6>0，a7＝0，a8<0. ∴d<0. ∴S6与S7圴为Sn的最大值． S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0. ∴S9<S5，故选ABD.] 类型2　等差数列前n项和Sn的最大(小)值 【例2】　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前多少项和最大？ [思路引导]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式；(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决． [解]　(1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17. 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，