（练习）微专题强化练1 数列通项公式的求法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

微专题强化练(一)　数列通项公式的求法 一、选择题 1．数列1，－，－…的通项公式可能是(　　) A．an＝(－1)n-1 B．an＝(－1)n C．an＝(－1)n-1 D．an＝(－1)n 2．已知a1＝2，an＋1＝an，则a2 024＝(　　) A．506 B．1 012 C．2 024 D．4 048 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an，则a2 022＝(　　) A．22 022－2 B．22 023－2 C．22 024－2 D．22 021－2 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则＋…＋＝(　　) A． B． C． D． 5．(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列{an}，则(　　) A．a5＝15 B．a100＝5 000 C．2an＋1＝an·an＋2 D．an＋1＝an＋n＋1 二、填空题 6．观察数列，－，( )，－，(　　)…的特点，则括号中应填入的适当的数为________． 7．已知数列{an}为等比数列，且a5a6＝2，数列{bn}满足b1＝1，且＝an，则b11＝________． 8．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n+1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________． 三、解答题 9．在①＝，②Sn＝an这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目． 设首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且________． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{cn}的前n项和为an，令dn＝cn·，求数列{dn}的前n项和Mn. 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题强化练(一) 1．C　[将数列1，－，－，…变为，－，－，…，从而可知分母的规律为2n，分子的规律为n＋1，再结合正负的调节，可知其通项为an＝(－1)n-1.故选C.] 2．D　[由a1＝2，an＋1＝an可得＝，故a2 024＝··…··a1＝··…··2＝4 048，故选D.] 3．B　[当n＝1时，S1＋2＝2a1，a1＝2，当n≥2时，Sn－1＋2(n－1)＝2an－1，Sn＋2n－Sn－1－2(n－1)＝2an－2an－1，即an＝2an－1＋2，∴an＋2＝2(an－1＋2)，＝2，{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，以2为公比的等比数列．∴an＋2＝4·2n-1， an＝2n+1－2，a2 022＝22 023－2.故选B.] 4．A　[由an＋1＝an＋n＋1得：an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，各式相加得：an－a1＝2＋3＋…＋n，又a1＝1， ∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝， ∴＝＝2， ∴＋…＋ ＝2× ＝2×＝.故选A.] 5．AD　[由题设，an＝，故a5＝＝15，a100＝＝5 050，A正确，B错误；又2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，an·an＋2＝，显然2an＋1≠an·an＋2，C错误；an＋n＋1＝＋n＋1＝＝an＋1，D正确．故选AD.] 6．，－　[由题可得数列的通项公式为an＝(－1)n+1，∴a3＝，a6＝－.] 7．32　[因为{an}是等比数列，于是有a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝2，而＝an，则有b11＝b1···…·＝b1a1a2a3·…·a10＝25＝32，所以b11＝32.] 8．an＝(2n－1)·3n　[由an＋1＝3an＋2·3n+1，得＝，∴＝2， 即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴＝2n－1，得an＝(2n－1)·3n.] 9．解：(1)选①：∵＝，即an＋1＝，∴＝，即＝，∴数列是常数列， ∴＝＝1，故an＝n(n＋1)． 选②：∵3Sn＝(n＋2)an，∴当n≥2时，3Sn－1＝(n＋1)an－1，则3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，即(n－1)an＝(n＋1)an－1， ∴＝，∴an＝··…···a1＝n(n＋1)，当n＝1时，a1＝2也满足，∴an＝n(n＋1)． (2)由(1)知当n≥2时，an－1＝(n－1)n，∴cn＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，又∵n＝1时，a1＝2＝2×1＝c1，符合上式，∴cn＝2n，∴dn＝2n·＝n·， ∴Mn＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·， 而Mn＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·，两式相减得 Mn＝＋＋＋…＋＋－n·， ＝－n·＝2－2×－n·＝2－(2＋n)，∴Mn