（练习）课时分层作业11 数学归纳法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

课时分层作业(十一)　数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2 B．1＋<2 C．1＋<3 D．1＋<3 2．用数学归纳法证明1－＋…＋＝＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A． B．－ C． D． 3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　) A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 4．利用数学归纳法证明1＋＋…＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A．1项 B．k项 C．2k-1项 D．2k项 5．(多选)对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下： ①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立． ②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是(　　) A．证明过程全都正确 B．当n＝1时的验证正确 C．归纳假设正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 二、填空题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________． 7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________． 8．已知f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k+1)－f(2k)＝______________________．　 三、解答题 9．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N*)． 10．(多选)用数学归纳法证明不等式＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1 B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2 C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 11．利用数学归纳法证明等式：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，当n＝k时，左边的和1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1，记作Sk，则当n＝k＋1时左边的和，记作Sk＋1，则Sk＋1－Sk＝(　　) A．1＋2＋3＋…＋k B．1＋2＋3＋…＋(k－1) C．1＋2＋3＋…＋(k＋1) D．1＋2＋3＋…＋(k－2) 12．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________________________． 13．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________． 14．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)； (2)用数学归纳法证明：1＋＋…＋<2(n∈N*)． 15．是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十一) 1．B　[因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋<2.故选B.] 2．C　[因为当n＝k时，左端＝1－＋…＋，当n＝k＋1时，左端＝1－＋…＋.所以，左端应在n＝k的基础上加上.] 3．B　[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．] 4．D　[用数学归纳法证明不等式1＋＋…＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中， 假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋…＋＋…＋， ∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：＋…＋， 共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项，故选D.] 5．BCD　[n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故选BCD.] 6．n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故答案为：n＝k＋2时等式成立．] 7．(k＋3)3　[假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3. 为了