第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 期中复习专题突破之知识梳理 2023—2024学年沪科版数学八年级上册

沪科版(2012)数学 八年级上册 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 知识梳理 1．三角形的概念 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形． ①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角; ④相邻两边的公共端点是三角形的顶点， ④三角形ABC用符号表示为△ABC，⑤三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形； （3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义． 2．三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短； （2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边． 3．三角形的中线、角平分线、高 （1）三角形中线：连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：① AD是△ABC的BC上的中线. ② BD=DC=BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。 表示法：① AD是△ABC的∠BAC的平分线. ② ∠1=∠2=∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：① AD是△ABC的BC上的高线. ② AD⊥BC于D. ③ ∠ADB=∠ADC=90°. 注意：① 三角形的高是线段； ② 锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在形外，另一条在内部。 ③ 三角形三条高所在直线交于一点． 4．三角形的分类： 按边分： 按角分： 或： 5． 对“定义”的理解： 能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。 注意：确界定某个对象有两种形式： 1 揭示对象的特征性质； 例如：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ② 明确对象的范围。例：整数和分数统称为有理数 6．有关“命题”的概念 用来判断它是真（正确）、假（错误）的语句或式子叫做命题。 注意：① 命题有真命题和假命题两种， ② 命题由题设和结论两部分组成的. 前一部分，也称之为 条件，后一部分称之为 结论。 ③ 命题通常是用“如果······, 那么······.”的形式给出. ④ “如果p, 那么q.”中的题设与结论互换，得一个新命题： “如果q, 那么p.” 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫原命题，另一个命题叫做逆命题 ⑤ 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. ⑥ 符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可 7．有关“公理、定理、证明、推论、演绎推理、辅助线”等概念 （1）公理：从长期实践中总结出来的，不需要再作证明的真命题。 （2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命题。 （3）演绎推理：从已知条件出发，依据定义、公理、定理，并按照逻辑规则，推导出结论的方法。 （4）证明：演绎推理的过程就是演绎证明，简称“证明”。 （5）推论：由公理、定理直接得出的真命题。 （6）辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线段或直线。 8．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． （1）从折叠可以看出：∠A+∠B+∠C=1800 (2) 从剪拼可以看出：∠A+∠B+∠C=1800 (3) 由推理可知：∠A+∠B+∠C=1800 推理过程： 一、作CM∥AB，则∠4=∠1，∠5=∠2,∵∠3+∠4+∠5=1800， ∴∠3+∠1+∠2=1800，即∠A+∠B+∠ACB=1800． 二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800， 即∠BAC+∠B+∠C=1800． 注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角． （2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角． 9．三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 如: