二次函数的图象与字母之间关系2023-2024学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数小专题：

二次函数的图象与字母系数之间的关系 【方法总结】 ①判断a的正负----看开口 ②判断b的正负----看对称轴位置：左同右异 ③判断c的正负----看抛物线与y轴交点位置： ④观察对称轴是否已知，若已知，则a与b的具体关系已知 例如：从图上看到抛物线对称轴为直线x=2,则可由b=-4a，这样就 可以看到a与b具体数量关系，进而代入一些不常见的式子进行代换从而解题. 【注】特殊的对称轴：直线x=1或直线x=-1的情况： 当对称轴为直线x=1时，由b=-2ab+2a=0 当对称轴为直线x=-1时，由b=2ab-2a=0 总结：当题目出现2a与b的式子时，就找对称轴与1或-1的关系，利用不等式 或等式解题. ⑤观察抛物线与x轴两个交点是否已知，若已知，则a与c的具体关系已知 例如：从图上发现抛物线与x轴的两个交点横坐标为-1和3，则利用韦达定理知：-1×3=，这样就得c=-3a，进而代入一些不常见的式子进行代换从而解题. ⑥若抛物线与x轴有两个交点，则；若抛物线与x轴有两个交点，则；若抛物线与x轴有两个交点，则； ⑦常见的式子意义： a+b+c是当x=1时y的值； a-b+c是当x=-1时y的值 4a+2b+c是当x=2时y的值； 4a-2b+c是当x=-2时y的值 9a+3b+c是当x=3时y的值； 9a-3b+c是当x=-3时y的值 ⑧此类式子：a＋b≥am+bm(m为一切实数）需要特殊记忆下，通过给不等式两边加c转化成a＋b+c≥am+bm+c(m为一切实数）其他点的函数值与顶点函数值得比较 ⑨当一些只含有a和c的式子处理方法： 第一步：先观察抛物线与x轴交点横坐标是否已知，若已知，则a与c关系已知，那么含有a和c的式子就可以转化成含有单个字母的式子，在进行判断； 第二步：若第一步中看不到抛物线与x轴交点横坐标具体是多少，则此时含有a与c的式子需要通过观察c的系数，依托c的系数，利用a与b关系将其化成含有a、b、c的式子（常见化成a、b、c系数都相等），在进行判断. ⑩当式子出现与时，先考虑△=是否能解题，如不能，考虑顶点纵坐标公式. 【例】抛物线的对称轴为直线x=-1,部分图象如图所示，下列判断：①abc>0;②b-4ac>0;③9a-3b＋c=0;④若点（-0.5,),(-2,)均在抛物线上，则>;⑤5a-2b+c<0.其中正确的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【思路点拨】 ①由对称轴与y轴的位置关系，可得出ab的符号，再结合图象与y轴交点的位置，可得出c的符号，即可判断abc的符号； ②由图象与x轴交点的情况，可判断b-4ac的符号； ③令x=-3,看函数值的符号，即可判断9a-3b＋c与0的大小关系； ④比较两点与对称轴的距离，结合图象的开口方向，可得出结论； ⑤由对称轴位置可得a与b的等量关系，再由图象经过点（1,0),得关于a,b,c的一个等量关系，进而转化得到a与c的等量关系，分别将b,c用含a的式子代入5a-2b+c中，结合a的符号即可判断． 【方法指写】 根据抛物线的图象判断字母系数a,b,c之间的关系 开口方向 开口向上 a_____0 开口向下 a_____0 对称轴位置 对称轴为y轴 b_____0 对称轴在y轴左侧 a与b_____号 对称轴在y轴右侧 a与b_____号 与y轴交点 过原点 c_____0 与y轴交于正半轴 c_____0 与y轴交于负半轴 c_____0 与x轴交点 与x轴有唯一交点 b²-4ac_____0 与x轴有两个交点 b²-4ac_____0 与x轴没有交点 b²-4ac_____0 判断a,b,c相关的常见代数式与零的大小关系 a+b+c或a-b+c 令x=1或－1,看函数值 4a+2b+c或4a-2b+c 令x=2或－2,看函数值 9a+3b+c或9a-3b+c 令x=3或－3,看函数值 2a+b 看对称轴与直线x=1的位置 2a-b 看对称轴与直线x=-1的位置 其他辅助判定条件： 顶点坐标 若与x轴交点，；确定对称轴为：x= 韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 【针对训练】 1.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A.abc<0,b-4ac>0 B.abc>0,b-4ac>0 C.abc<0,b-4ac<0 D.abc>0,b-4ac<0 2.如图，二次函数的图象经过点A(1,0),B(5,