第4.3.2讲 等比数列的前n项和公式（第1课时）-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第二、三册）

第四章 数列 第4.3.2讲 等比数列的前n项和公式（第1课时） 1．探索并掌握等比数列的前n项和公式．　 2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系，能用公式求解相关问题．　 3.掌握错位相减法求数列前n项和的方法及应用． 1、等比数列的前n项和的基本运算 2、前n项和公式Sn的函数特性 3、错位相减法求和 知识点一　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ (1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知或是代数式时，要对公比分类讨论． (2)当q≠1时，若已知a1，q和n，则用Sn＝较方便，若已知a1，an及q，则用Sn＝较好． 知识点二　等比数列前n项和公式的函数特性 1．当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(1－qn)，则Sn是n的指数型函数与常数的和． 2．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 当q≠1，Sn＝＝－·qn，所以Sn＝A－A·qn，可用指数函数的观点和方法认识理解等比数列的前n项和问题． 题型1、等比数列的前n项和的基本运算 1．已知全部是正项的等比数列的前项和为，若，则其公比为（　　） A．3 B．﹣1 C．1 D．2 2．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知等比数列的前3项和为，则（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 4．已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则 （    ） A．31 B． C．31或5 D．或5 5．已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ） A． B．2 C． D．3 题型2、前n项和公式Sn的函数特性 6．在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 7．在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 8．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．5 C． D． 9．等比数列的前n项和，则k的值为（    ） A．全体实数 B． C．1 D．3 10．在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型3、错位相减法求和 11．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 12．已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 13．等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 一、单选题 1．已知等比数列{an}的首项，公比，则等于（    ） A．93 B．－93 C．45 D．－45 2．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．－24 B．－28 C．－30 D．－32 3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 4．已知正项等比数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知为正项等比数列的前n项和，若，则的公比（    ） A．3 B．2 C． D． 6．已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 7．已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（    ） A． B． C．或 D．－3或 8．等比数列的前n项和为，则（    ） A．－2 B．2 C．－1 D．－4 二、多选题 9．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是（    ） A．此人第一天走的路程比后五天走的路程之和多六里 B．此人第三天走了二十四里 C．此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍 D．此人第二天走的路程占全程的 10．设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．为常数 D．为等比数列 三、填空题 11．已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则 ． 12．等比数列的前项和为，若，则 . 四、解答题 13．已知等比数列满足，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值 14．在等比数列中，已知，．求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前5项和． 15．等差数列满足