考点6.2 空间中的位置关系 题型2 垂直关系的判定与应用讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点6.2 空间中的位置关系 题型2 垂直关系的判定与应用 母题模型 联想：等腰三角形的垂直关系 联想：以O为空间直角坐标系原点 如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC， 垂足O落在线段AD上，已知 ． （1）求证：AP⊥BC； （2）若点M是线段AP是一点，且,试证明平面AMC⊥平面BMC． 推理：借助空间向量数量积为0； 推理：借助两个平面的法向量数量积为0, 线面垂直的定义 利用面面垂直的判定定理 拆题： （1） ⊥ 由PO⊥平面ABC，建立空间直角坐标系 得出P，A，B坐标 （1）大招快解： 大招快解：三垂线定理：垂影必垂斜，垂斜必垂影 ， D是BC的中点 PO⊥平面ABC （2）面AMC⊥面BMC 平面AMC的法向量为 平面BMC的法向量为 由PO⊥平 面ABC，建立空间直角坐标系 （2）大招快解： 大招快解：空间向量证明线线垂直，再结合第一问结果即可得出结论 由PO⊥平 面ABC，建立空间直角坐标系 AP⊥面BCM 面AMC⊥面BMC AM⊥平面BCM AM平面AMC 【解析】（1）证明：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示； 则 ， 故，， ∴， ∴⊥，即 ； （2）证明：因为 平面ABC，平面ABC，所以, 因为 ，故 ，∵M为AP上一点，且 ， ∴M(0,，)，∴(0,,)， (-4,,)，(4,,)； 设平面BMC的法向量为， 则 ，即， 令 ，则； 设平面AMC的法向量为，则 ， 即，令 ，则； 由于， 得⊥，即平面AMC⊥平面BMC． （2）大招快解：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系， ∵M为AP上一点，且， ∴M(0,，)，∴(0,,)，(-4,,)， ∴，∴， ∵，， ∴， ∴⊥，即 ， ∴AP⊥面BCM，AM平面AMC，面AMC⊥面BMC 方法总结：证明各种垂直的方法 证明各种垂直，最重要的是证明线线垂直，比如可以借助等腰三角形底面边上的中线、勾股定理、平面几何法，线面垂直的定义等证明线线垂直，进一步得出线面垂直和面面垂直。 利用向量法证明垂直问题的类型及方法 （1）证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0. （2）证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行． （3）证明面面垂直： ①其中一个平面与另一个平面的法向量平行； ②两个平面的法向量垂直． 子题变式 1．（难度★★）（2023·山东菏泽·统考一模）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直 角坐标系，设正八面体的边长为,则，，所以， ,设面的法向量为，则，解得，取，即，又，所以，面，即面，①正确；因为，所以，又， 向量共线的条件 面，面，则面，由，平面，所以平面平面，②正确；因为，则，所以，③正确；易知平面的一个法向量为，平面 因为，故是平面ACE的一个法向量 的一个法向量为，因为，所以平面平面，④正确；故选D. 2．（创新题）（难度★★★）（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，将沿折起，使平面平面，在平面内过点 作垂足为在平面上的射影，连接,由翻折的特征知， 面面垂直的性质定理，得. 则，故点的轨迹是以为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是， 直径所对的圆周角是90°. 如图当与重合时，,所以，取为的中点，得到是正三角形.故，其所对的弧长为； 故选D. 弧长公式： 3．（多选题）（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）下面给出四个直三棱柱，底面中，，，侧棱长为，点分别是所在棱的中点，则满足直线的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为直三棱柱侧棱垂直于底面，且，所