考点6.1 空间几何体 题型3 球与其他几何体的切、接问题 讲义-2024届高三数学二轮复习

考点6.1 空间几何体 题型3 球与其他几何体的切、接问题 母题模型 解读：由正棱锥截的而成，联想性质 推理：由重心定理 上、下底面外接圆的半径 1．(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A．100π B．128π 联想；球的体积是多少？ C．144π D．192π 解读：正三棱台的外接球：球心在过上下底面外接圆圆心所在直线上 拆题： 解得OO1＝4(舍去) （1）球心O在 线段O1O2上 圆心在两个圆 心O1O2直线上 棱台是正三棱台 解得OO1＝3 （2）球心O不 在线段O1O2上 则球的表面积为100π 据勾股定理得R2＝25． 常规解法：球的直径或半径的求法 （1）正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径 （2）若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有. （3）如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． （4）确定球心是关键：球心在过底面外心且垂直于底面的直线上. 子题变式 1．（难度★）边长为的正四面体内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为， ，设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，由等体积法可得，解得， 正四面体分割成四个等底等高的小三棱锥 因此，该正四面体的内切球的体积为.故选D. 2. （难度★★）（2022春·江西赣州联考测试题）已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，作出三棱锥，如图所示， 因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，则两两互相垂直，将三棱锥 三线两两垂直，构成墙角的类型，故补形为长方体 补形成以为长宽高的长方体，如下图所示， 又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，又，，所以该长方体的体对角线长为，即球的直径，其中是球的半径；所以球的表面积为.故选B. 3．（难度★★）（2023春·四川·高三校联考阶段练习）在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，由等体积法得，设，正的中心为，则，，由，得，故故选B. 4．（难度★★★）（2022秋·福建宁德·高三校考期末）在平面四边形中，，，是以为斜边的直角三角形，将沿折起，使得点到达点的位置，若平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】如图，取的中点，连接，∵，则， 而平面平面，平面平面，平面， ∴平面.又∵是以为斜边的直角三角形，则为的外接圆圆 心，即，∴三棱锥的外接球的球心在直线上， 由题意可知：的外接圆圆心在直线上，则连接， ∴三棱锥的外接球的球心即为， 在中，由题意可得，则， ∴三棱锥的外接球的半径，故三棱锥的外接球的 由正弦定理 表面积 . 5．（难度★★）（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，则鳖臑的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】堑堵的外接球即为鳖臑外接球，又可将堑堵补成长方体，长方体的外接球即为堑堵的外接球， 六个点共球，实则是八个点共球，可以通过补充成长方体完成. 长方体的外接球直径为，所以鳖臑的外接球的半径为， ∴鳖臑的外接球表面积为． 6．（难度★★★）（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________. 【答案】    【解析】因为三棱锥每组对棱棱长相等，所