考点6.1 空间几何体 题型2 空间几何体的体积 讲义-2024届高三数学二轮复习

考点6.1 空间几何体 题型2 空间几何体的体积 母题模型 推理：侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆 解读：圆锥的侧面积与体积公式 (2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图 的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲 和V乙．若＝2，则＝(　　) 联想：圆锥的体积比本质是哪些 A． B．2 量的比？ C． D． 解读：由＝2 圆锥底面半径之比是2∶1. 拆题： 两个圆锥的母线 长相等， ＝2. 设两个圆锥的 母线长为l＝3 甲乙两个圆锥底面半径分别为2，1 甲、乙两个圆锥侧面展开 图的圆心角之比是2∶1 两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆 体积比：＝＝. 甲乙高分别为h1，h2 由勾股定理得，h1＝ ＝，h2＝＝2， 常规解法：求空间几何体体积的常用方法 公式法 直接根据常见柱、锥、台体等规则几何体的体积公式计算 等积法 根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等 割补法 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体 子题变式 1．（难度★）（2022·重庆江北·校考一模）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知， 弧长公式 ，因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，所以，因为，所以，所以曲池体积为.故选D. 2．（难度★）（2023·广东茂名·统考一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为，因为其轴截面（过圆锥旋 注意：设出新的变量的取值范围 转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形，所以，解得，则或（舍去）， 由得，，则上半部分的体积为，下半部分体积为，故蒙古包的体积为.故选C. 3．（难度★★）（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，中，,为的中点，将沿折叠成三棱锥，则该棱锥体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为在中，，为的中点， 所以，，所以，在折叠成的三棱锥中，， 因为平面，所以平面， 所以，三棱锥的体积为 ，当且仅当时等号成立，所以，该棱锥体积最大值为. 正弦函数的取值范围 故选B. 4．（难度★★）(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB.记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2　　　　　 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 【答案】CD 【解析】设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝×2×2＝，V2＝×2×1＝.如图，连接BD交AC于点O，连接EO，FO，则FO＝，EO＝，EF＝3，所以S△EOF＝××＝，所以V3＝S△EOF·AC＝2，所以V3＝V1＋V2，2V3＝3V1.故选C、D. 5．（难度★★★）2．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取中点，连接，由题意知：为等边三角形，则为等 边三角形，，平面，平面平面， 平面， 证明线面垂直得到几何体得高 又平面，，平面， 平面，，不妨设，则，， 证明线面垂直得到几何