专题4.5数学归纳法（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）

专题4.5数学归纳法 知识点一、数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当时命题成立; （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 知识点二、用数学归纳法证明恒等式 （1）弄清取第一个值时等式两端项的情况; （2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; （3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形. 重难点1对数学归纳法的理解 1．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 2．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 3．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 4．用数学归纳法证明等式“”时，第一步验证需证明的命题为 ． 5．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步是：设，则假设＝ 时正确，再推＝ 时正确． 6．用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：能被整除”时，第二步假设当时命题为真后，需证 时命题也为真． 重难点2增项问题 7．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（    ） A．增加一项 B．增加两项、 C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项 8．用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 9．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 10．用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 11．用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是 A． B． C． D． 12．用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 重难点3恒等式的证明 13．证明：凸n边形的对角线的条数． 14．用数学归纳法证明：． 15．用数学归纳法证明：当时，． 16．用数学归纳法证明：． 17．用数学归纳法证明： (1)； (2) ． 18．用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 重难点4不等式的证明 19．设，，且，用数学归纳法证明：． 20．设，且，证明∶. 21．证明∶不等式成立. 22．设且，则，当且仅当时等号成立． 23．证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 24．证明：不等式，恒成立. 重难点5归纳-猜想-证明 25．已知函数，设，且任意的，有. (1)求的值； (2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明. 26．设函数y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy. (1)求f（0）的值； (2)若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）的值； (3)在（2）的条件下，猜想f（n）（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法加以证明. 27．设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 28．函数对任意实数x，y都有． (1)求的值； (2)若，求，，的值，猜想时的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 29．设，其中n为正整数． (1)求，，的值； (2)猜想满足不等式的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 30．已知数列的前项和为，其中且. (1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法加以证明. 重难点6整除问题的证明 31．用数学归纳法证明：能被整除（） 32．能被哪些自然数整除？ 33．是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 34．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ 35．用数学归纳法证明：能被整除. 重难点7数列问题的证明 36．设数列满足，且对任意正整数均有．求的通项公式． 37．设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，. (1)求数列、的通项公式； (2)记，，用数学归纳法证明：. 38．设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)求数列，求的前项和． 39．设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 40．已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值； (2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 41．已知数列满足，. (1)求的值； (2