求数列的通项公式导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

求数列通项公式专题的导学案 平果市铝城中学 林大泽 一.导(展示教学目标,学习重点难点) 教学目标:让学生会用观察法,公式法,累加法和累积法以及递推公式求通项公式 教学重点:用公式法求通项公式 教学难点:累加法和累积法以及递推公式求通项公式 二.思(思考下列各种求通项公式的方法,并完成例题) 1.观察法:已知数列前几项,写出数列通项公式 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式(然后再用数学归纳法证明,也可以猜想出规律,然后正面证明.) [例1] 试写出下列数列的通项公式: (1)2,-1,,-,,-; (2)7,77,777,7 777; (3)b,a,b,a. 2.公式法:知道数列是等差数列或者是等比数列(包括根据已知条件可以转化的) 等差数列通项公式:,等比数列通项公式:. [例2] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=10,S4=24. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令Tn=++…+,求证:Tn<. [例3] 在等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m. [例4] 满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式. 3.形如:,利用公式an=求通项an [例5] 设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通项公式an; (2)求数列{|an-n-2|}的前n项和. [例6] 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N+.求{an}的通项公式. 4.形如:(f(n)可以求和)转化为,利用累加法求解 [例7] 已知a1=,an+1=an+,求an. 5.形如:(f(n)可以求积)转化为,利用累乘法求解 [例8] 已知a1=,an+1=an,求an. 6.形如:(k,b为常数)转化为,利用待定系数法求解 [例9] 已知a1=1,an+1=2an+3,求an. 7.形如:(p,q,r为常数)取倒数法构造辅助数列 [例10] 已知a1=1,an=(n≥2),求an. 8.形如:(p≠1,p≠0,A≠0)构造等比数列(k,b为常数) 这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y),与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为{an+xn+y}是公比为p的等比数列. [例11] 设数列{an}:a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),求an. 9.形如:,两边同除以an+1an,转化为(k,b为常数)型求解 [例12] 已知a1=2,an≠0,且an+1-an=2an+1an,求an. 10.形如:(p,r为常数)取对数后构造等比数列 [例13] 设正项数列{an}满足a1=1,an=2a(n≥2).求数列{an}的通项公式. 11.形如:递推式为an+1=pan+qn+1(p,q为常数)时,可同除以qn+1,得= +1,令bn=从而化归为bn+1= bn+k( ,k为常数)型 [例14] 已知数列{an}满足a1=1,an=3n+2an-1(n≥2),求an. 3、 议(典型例题) 四:展(例题) 自由展和预设展 五.评 点评学生疑惑或者出错的地方 6. 检 1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(n∈N*). (1)求证:{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式. 2.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1.求证:{an}是等比数列,并求出通项公式. 3.在等比数列{an}中,a1=-2,a3=-8,求等比数列{an}的公比及通项公式. 4.在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.求数列{an}的通项公式; 5.已知数列{an}满足a1=2,an+1=. (1)数列是否为等差数列?若是,请说明理由.(2)求an. 6.已知数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3). (1)判断数列{an}是否为等差数列?说明理由. (2)求{an}的通项公式. 7.已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N*). (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 七.课堂小结 掌握各种求数列通项公式的方法,及其结构特征。 学科网(北京)股份有限公司 $$