专题09 等比数列通项与前n项和（8大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019）

专题09 等比数列通项与前n项和 知识点1 等比数列的定义 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 2、对等比数列概念的理解 （1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项； （2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列； （3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列； （4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比； （5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。 知识点2 等比数列的通项与性质 1、等比数列的通项公式 （1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：. （2）通项公式的变形：或 2、等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列 3、等比数列的性质 （1）“子数列”性质 ①对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为； ②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， 即，，，…仍是等比数列，公比为 （2）等比数列的运算性质 在等比数列中，若，则； ①特别地，时，； 当时， ②若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 （3）两等比数列合成数列的性质 若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数， 则数列、、也是等比数列； 知识点3 等比数列的前n项和与性质 1、等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 2、等比数列前n项和的函数特征 （1）与的关系 ①当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； ②当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 （2）与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 3、等比数列前n项和的性质 （1）等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. （2）若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． （3）若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。 考点1 等比数列的基本量计算 【例1】（2022·甘肃白银·高二靖远县第一中学校考期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022·江苏淮安·高二校考阶段练习）（多选）已知在等比数列中，，前三项之和，则的值可能是（ ） A．35 B． C． D．1 【变式1-2】（2022·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知等比数列，记其前项乘积.若，，则的前5项和为 . 【变式1-3】（2022·上海·高二校考期中）等比数列的n前项和为，若，，则 ． 【变式1-4】（2022·江苏盐城·高二校考期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则 ． 考点2 等比数列通项性质应用 【例2】（2022·高二校考单元测试）已知等比数列中，，是方程的两根，则（ ） A．3 B．64 C．256 D．±64 【变式2-1】（2022·上海·高二行知中学校考阶段练习）数列是正数等比数列，且，则 . 【变式2-2】（2022·陕西·高二高新一中校考阶段练习）数列为等比数列，且，则 ． 【变式2-3】（2022·海南·高二嘉积中学校考期末）正项等比数列中，，则的值是 ． 【变式2-4】（2023·江西抚州·高二临川二中校考阶段练习）正项等比数列中，若，则 . 考点3 等比数列单调性及应用 【例3】（2023·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）已知等比数列的公比为q，则“”是“为递减数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（2023·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知