专题06 双曲线的标准方程及几何性质（10大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）- 【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019）

专题06 双曲线的标准方程及几何性质 知识点1 双曲线的定义 1、双曲线定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点、为焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为. 2、双曲线定义的集合语言表示：． 要点注意： （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点2 双曲线的方程与几何性质 1、双曲线的方程与几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2、等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°. 3、双曲线的焦点三角形 （1）定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， （2）焦点三角形的应用：设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 知识点3 直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线的位置关系 2、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 3、直线与双曲线相交的弦长问题 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 4、解决中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有. 证明：设、，则有，上式减下式得， ∴，∴，∴. 考点1 双曲线定义的辨析 【例1】（2023·河北石家庄·高二石家庄精英中学校考阶段练习）（多选）已知平面直角坐标系中，,点P为平面内一动点，且,则下列说法正确的是（ ） A．当时，点P的轨迹为一条直线 B．当时，点P的轨迹为一条射线 C．当时，点P的轨迹不存在 D．当时，点P的轨迹是双曲线 【变式1-1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·广西玉林·高二校联考阶段练习）是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则 . 【变式1-3】（2023·江西南昌·高二江西师大附中校考期中）已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线一支 【变式1-4】（2023·重庆·高二统考期末）与圆：及圆：都外切的圆的圆心在（ ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 考点2 求双曲线的标准方程 【例2】（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校校考阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·河北·高二校联考阶段练习）一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ） A． B． C