8.4 圆锥曲线的综合问题 题型1 轨迹问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.4 圆锥曲线的综合问题 题型1 轨迹问题 母题模型w推理：两条直线 过定点（-1，0） （2022·江西南昌·统考三模）已知两条直线：， ：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，解读：利用圆中 圆的半径为定值 都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值， ，则动圆圆心的轨迹是（    ）联想：圆中弦长利用 构造直角三角形求解 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 拆题 圆心的坐标为，半径为 圆心到，的距离 分别是， ，即 方法总结：圆锥曲线轨迹问题 1.直接法(五部法)：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含x, y的等式就得到曲线的轨迹方程. 2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义)，则可根据定义直接求出动点的轨迹方程. 3.坐标转移法（代入法) ：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随 着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法. 4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现 (或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间 等)的制约，即动点坐标(x, y)中的x, y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。 子题变式 1．（难度★★★）（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，不存在满足的点；满足的点在双曲线的下支；满足的点在双曲线的上支；满足的点的轨迹是整个双曲线；故选C． 大招快解：为了表示双曲线的上支，则，只有D符合要求，故选D. 2．（难度★★）（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的右支 D．直线 【答案】D 【解析】如图，设切点分别为 .由切线长相等，得 .由椭圆的定义，得 由圆外一点向圆引切线，切线段长相等 ，即，也即，故点与点重合，所以点的横坐标是，即点的轨迹是一条 因为故,若点与点重合，则则. 直线 (除去点).故选D. 3．（难度★★）设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：，设，因为，所以 直线与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，故注意变量范围. ，解得：，因为，所以 所以，因为，所以， 即.故选D. 4．（创新题）（难度★★）（2022·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.假设圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳， 故,所以直线所在的方程为：，代入，解得 或 （舍掉离y轴较远的点），所以点的坐标为. 由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，故设抛物线方程为：，则，则由M点处切线斜率为1可得，， 导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率 又，解得，所以该抛物线的轨迹方程为，即，故选C. 5．（挑战题）（难度★★）已知是平面内两个不同的定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为，若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】不妨设,以所在直线建立轴， 以的中垂线所在直线建立轴， 则有， 设,则,所以,,则由题得，即， 当时,表示圆心在原点,半径为的圆; 当时，，方程可化为,表示焦点在轴上的椭圆； 当时,,方程可化为,表示焦点轴上的椭圆；