第03讲 二次根式的加减（8大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第03讲 二次根式的加减 1．同类二次根式 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 2．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 5.二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 1.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式 2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并. 一般步骤： (1)化—将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找—找出被开方数相同的二次根式； (3)并—把被开方数相同的二次根式合并. 简称“一化二判三合并” 3.分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 考点剖析 考点1同类二次根式 例1．若最简二次根式与可以合并，求的值． 【变式1】与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 考点2二次根式的加减 【例2】计算： （1）；     （2）； （3）；     （4）． 【变式2】计算： （1）；     （2）； （3）；     （4）． 考点3二次根式的混合运算 【例3】计算 (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算 (1) (2) (3) (4) 考点4二次根式的求值 【例4】已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【变式4】计算： (1)已知，，求的值； (2)求的值． 考点5二次根式的求值（条件变形类） 【例5】阅读下列材料： 已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法： 解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得． 这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)若，求代数式的值； (2)若，求代数式的值. 【变式5】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)___________； (2)化简：； (3)若，求的值． 考点6二次根式的应用 【例6】在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为、宽为． (1)求该矩形地面的周长； (2)现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积（提示：结果保留整数，）． 【变式6】如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．    (1)求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜部分的面积． 考点7二次根式的大小