（讲义）第8章 8.6 8.6.2 第2课时 线面垂直的性质与空间距离-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第2课时　线面垂直的性质与空间距离 学习任务 1．理解直线与平面垂直的性质定理．(数学抽象、逻辑推理) 2．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．(数学抽象、数学运算) 如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯． 问题：(1)灯杆与水平面有什么样的位置关系？ (2)灯杆与灯杆之间有什么样的位置关系？ (3)由此你能得出什么结论？ 知识点1　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？ [提示]　棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行． 知识点2　空间距离 1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为________；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________． [答案]　2　4 类型1　线面垂直性质定理的应用 【例1】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1． [证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D． 又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1． 因为A1D∩CD＝D， 所以AD1⊥平面A1DC． 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1． 　证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． [跟进训练] 1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l． [证明]　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA． 同理l⊥EB.又EA∩EB＝E， 所以l⊥平面EAB． 因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB． 由线面垂直的性质定理，得a∥l． 类型2　空间中的距离问题 【例2】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3，求点D到平面PBC的距离． [思路导引]　点D到平面PBC的距离点A到平面PBC的距离． [解]　法一(几何法)：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC． 于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离． 如图，在平面PAB内作AH⊥PB交PB于点H． 因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC． 又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB， 而AH⊂平面PAB，所以BC⊥AH． 又PB∩BC＝B，且PB⊂平面PBC， BC⊂平面PBC，所以AH⊥平面PBC． 即AH为点A到平面PBC的距离． 在直角三角形PAB中， AB＝AP＝1，故PB＝， 由S△PAB＝PB×AH＝PA×AB， 得AH＝＝＝． 即点A到平面PBC的距离为， 所以点D到平面PBC的距离为． 法二(等体积转化法)：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC． 于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离，设为h， 连接AC(图略)，则V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC， 即×S△PBC×h＝×S△ABC×PA． 因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥BC． 又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB． 又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC是直角三角形． 又∠ADC＝45°，AB＝AP＝1，AD＝3，所以BC＝2，PB＝， 所以h＝＝＝＝， 则点D到平面PBC的距离为． 　空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转