（讲义）第8章 8.6 8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的定义及判定定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.6.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的定义及判定定理 学习任务 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．(直观想象) 2．归纳出直线与平面垂直的判定定理．(数学抽象) 3．了解直线与平面所成的角．(数学抽象) 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直． 问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ (2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ 知识点1　直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“无数条直线”？ [提示]　不可以，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直． 知识点2　直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号 语言 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形 语言 知识点3　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°． 取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直． (　　) (2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． (　　) (3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________； AB1与平面ADD1A1所成的角等于________； AB1与平面DCC1D1所成的角等于________． 45°　45°　0°　[∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行， 即所成的角为0°.] 类型1　直线与平面垂直的判定 【例1】　如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. [证明]　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC. 　证线面垂直的方法 (1)线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)． ②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直． (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. [跟进训练] 1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N. 求证：AN⊥平面PBM. [证明]　设圆O所在的平面为α， ∵PA⊥α，且BM⊂α， ∴PA⊥BM. 又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点， ∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A， ∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM， ∴BM⊥AN. 又AN⊥PM， ∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直． 故AN⊥平面PBM. 2．在正方体ABCD-A1