（讲义）第7章 7.3 复数的三角表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

7.3*　复数的三角表示 学习任务 1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．(数学抽象、逻辑推理) 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．(数学抽象、直观想象) 设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z，记r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系． 知识点1　复数的三角表示式 1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos_θ＋isin_θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos_θ＋isin_θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 1.任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？辐角的主值有多少个值？ [提示]　辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内． 2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π． 知识点2　复数三角形式乘法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos_(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 2.复数乘法的几何意义是什么？ [提示]　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量表示的复数就是积z1z2． 知识点3　复数三角形式除法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则＝＝_[cos_(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 3.复数除法的几何意义是什么？ [提示]　两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是商． 将下列复数表示为三角形式： (1)－5i＝________； (2) 2－2i＝________． [答案]　(1)5 (2)2)] 类型1　复数的代数形式化为三角形式 【例1】　把下列复数表示成三角形式： (1)1；(2)－i；(3)－2 [解]　(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg 1＝0，所以1＝cos 0＋isin 0． (2)r＝2，对应的点在第四象限，且cos θ＝，所以取θ＝－， 所以－i＝2 (3)－2＋i，r＝2， 对应的点在第二象限，且cos θ＝－，所以取θ＝． 所以－2 发现规律　将复数代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式． 提醒：复数三角形式的四个要求：模非负、角相同、余弦前、加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式． [跟进训练] 1．下列复数是复数三角形式表示的是(　　) A． B．－ C． D．cos π＋isin π D　[选项A，cos 与isin 之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－<0不符合r≥0要求；选项C，是cos π与isin π用“＋”连接，而不是sin ＋icos π的形式．故A、B、C均不是复数的三角形式．故选D．] 类型2　复数三角形式的乘、除运算 【例2】　(源自苏教版教材)计算下列各式，并把结果化成代数形式： (1)2×3； (2)． [解]　(1)原式＝6 ＝6＝6＝3＋3i． (2)原式＝ ＝＝＝＋i． 反思领悟　1．乘法法则：模相乘，辐角相加． 2．除法法则：模相除，辐角相减． 3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍． [跟进训练] 2．计算下列各式，并把结果化成代数形式： (1)； (2)(cos 75°＋isin 75°)×； (3)． [解]　(1) ＝()2 ＝2 ＝－1＋i． (2)因为－i＝ ＝， 所以(cos 75°＋isin 75°)× ＝× ＝× ＝cos π＋isin π ＝cos ＋isin ＝＋i． (3)因为－＋i＝cos π＋isin π， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝＋i． 类型3　复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例3】　在复平面内，把复数3－i对应的向