（讲义）第6章 6.４ 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 学习任务 掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题，体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(数学建模) 物理中的共点力平衡，用两个力F1和F2拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的． 　　 问题：(1)F能不能称为F1和F2的合力呢？ (2)它们之间有什么关系？ 知识点　向量法解决平面几何问题的“三步曲” 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则来解决．　(　　) (2)若△ABC为直角三角形，则有＝0． (　　) (3)物理学中的功是一个向量． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 类型1　向量在平面几何中的应用 　长度问题 【例1】　如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． [解]　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝＝＝＝2， 所以5－2a·b＝4，所以a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝． 　共线问题 【例2】　(源自北师大版教材)如图，点O是▱ABCD两条对角线的交点，点E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上． [证明]　设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＝＋ ＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n． 所以＝． 又O为的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 　垂直问题 【例3】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE． [证明]　法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＝－a＋＝＝b＋，所以＝＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0． 故，即AF⊥DE． 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)． 因为＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以，即AF⊥DE． 　用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． [跟进训练] 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小． [解]　(1)设＝a，＝b， 则＝＝＋＝＋)＝＋＝a＋b． ∴||2＝＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.∴AD＝． (2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)， 则θ为的夹角． ∴cos θ＝＝ ＝ ＝＝0． ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°． 类型2　平面向量在物理中的应用 【例4】　如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1． (1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围． [解]　(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ， 当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大． (2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos θ≥． 又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°． 　用向量方法解决物理问题的四个步骤 [跟进训练] 2．一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h.怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？ [解]　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED， 当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC⊥AE， 在Rt△ADE和▱ACED中， ||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°， ∴||＝＝2， ÷2＝0.5(h)，sin ∠EAD＝， ∴∠EAD＝30°， ∴船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时． 1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　) A．7　　　B．10　　　C．14　　　D．70 D　[F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70．] 2．某