（练习）课时分层作业20 复数的三角表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

课时分层作业(二十)　复数的三角表示 一、选择题 1．(多选)复数z＝－i的三角形式可以是(　　) A．2 B． C． 2．复数z＝的代数形式为(　　) A．1－i　　B．1＋i　　C．1　　　D．i 3．复数z＝，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为(　　) A． B．i C．1 D．i 4．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是(　　) A．150° B．40° C．－40° D．320° 5．(多选)已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是(　　) A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 二、填空题 6．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________． 7．arg＝________． 8．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________． 三、解答题 9．设复数z＝(1－i)5，求z的模和辐角的主值． 10．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－ D．－ 11．“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．(多选)下列各角可以作为复数3－3i的辐角的是(　　) A．－ B． C．－ D． 13．设复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，则tan (α＋β)＝________． 14．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z2对应的复数z2＝1＋i，求Z1和Z3分别对应的复数z1，z3. 15．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，并证明S△AOB＝|α|2. 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(二十) 1．CD　[∵r＝＝2， cos θ＝，sin θ＝－， ∴θ可取或－．] 2．B　[z＝ ＝[cos(75°－30°)＋isin(75°－30°)] ＝(cos 45°＋isin 45°)＝1＋i.故选B．] 3．A　[z＝＝1－i， 又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转， ∴旋转后的向量对应复数(1－i)(1－i)＝．] 4．D　[sin 50°－isin 140° ＝cos (270°＋50°)＋isin (180°＋140°) ＝cos 320°＋isin 320°．] 5．AD　[因为(－1－i)z＝2z ＝2z，z＝z ＝z.故选AD．] 6．1＋i　[由题意知，z＝2＝1＋i．] 7．　[复数z＝－－i对应的点位于第三象限，且cos θ＝－，所以arg＝．] 8．(1＋i)z＝i， ∴z＝＝＝(1＋i)＝．] 9.解：∵z＝(1－i)5＝25 ＝32＝32 ＝32， ∴复数z的模为32，辐角的主值为． 10．B　[因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝， 所以所以a＝－1，故选B．] 11．A　[当复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定有z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，z1与z2的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立．综上，“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的充分不必要条件．故选A．] 12．AB　[依题意得，r＝＝6， cos θ＝＝，复数3－3i对应的点在第四象限，所以arg(3－3i)＝，所以2kπ＋(k∈Z)都可以作为复数3－3i的辐角．故选AB．] 13．1　[因为复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan (α＋β)＝＝1．] 14．解：根据题意画出草图，如图所示． 由复数运算的几何意义知z1＝·z2·[cos ＋isin] ＝(1＋i) ＝＋i， z3＝·z2· ＝(1＋i) ＝＋i． 15．解：△AOB为等腰直角三角形． 证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α， ∴＝1＋i＝， ∴∠AOB＝． ∵分别表示复数α，β－α， 由β－α＝αi，得＝i＝cos ＋isin， ∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形． ∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2． 2/3 学科网（北京）股份有限公司 $$