（练习）课时分层作业15 余弦定理、正弦定理应用举例-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

课时分层作业(十五)　余弦定理、正弦定理应用举例 一、选择题 1．已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　) A．10海里　　　　 B．海里 C．5海里 D．5海里 2．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是(　　) A．5海里/时 B．5海里/时 C．10海里/时 D．10海里/时 3．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)(　　) A．7 350 m B．2 650 m C．3 650 m D．4 650 m 4．(多选)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(　　) A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC 二、填空题 5．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米． 6．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40 n mile/h，1 h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________n mile. 三、解答题 7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山体CD在西偏北45°的方向上，山顶D的仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上． (1)求此山的高度(单位：km)； (2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ. 8．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝(　　) A．a m　 B． m　 C．a m　 D．a m 9．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________ dm的C处截住足球． 10．某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十五) 1．D　[如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里． 由正弦定理，得＝， 所以BC＝5(海里)．] 2．D　[如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°， 从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D．] 3．B　[如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D， 则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°， 在△ABC中，AB＝50×420＝21 000， 由正弦定理得＝， 则BC＝×sin 15°＝10 500(－)，因为CD⊥AB， 所以CD＝BC sin 45°＝10 500(－)×＝10 500(－1)≈7 350， 所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350＝2 650(m)． 故选B．] 4．ACD　[解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 对于A, 在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB、BC解直角△ABC得到AB的值； 对于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出此三角形