（练习）课时分层作业6 向量数量积的运算律-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

课时分层作业(六)　向量数量积的运算律 一、选择题 1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为(　　) A．　 　B．　 　C．3　 　D．5 2．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b, c与d垂直，则k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 4．(2022·全国乙卷) 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 5．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|＜|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 二、填空题 6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝________． 7．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 8．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝3，且b⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________，设a在b方向上的投影向量为λb，则λ＝________． 三、解答题 9．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝. (1)求a与b的夹角θ； (2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|. 10．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 11．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ 12．(多选)已知正△ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 13．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________． 14．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，求实数t的取值范围． 15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六) 1．C　[由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．] 2．C　[设向量a与b的夹角为θ． 因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos θ＝3， 所以cos θ＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．] 3．B　[因为c与d垂直，所以c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．] 4．C　[∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2， 又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3， ∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b， ∴a·b＝1． 故选C．] 5．ACD　[根据向量数量积的分配律知A正确； 因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， 所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； 因为a，b不共线， 所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边， 所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确； D正确．故选ACD．] 6．　[∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0． ∵|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝， ∴|a＋b|＝＝＝．] 7．11　[设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝， 又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11．] 8．　1　[∵b⊥(a－b)，∴b·(a－b)＝0⇒b·a－b2＝0⇒b·a＝b2， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝＝， 由a在b方向上的投影为|a|cos 〈a，b〉＝3，知a在b方向上的投影向量为3·， 即3·＝λb，解得λ＝1．] 9．解：(1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7， 所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7，