（练习）课时分层作业4 向量的数乘运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

课时分层作业(四)　向量的数乘运算 一、选择题 1．平面向量a，b共线的充要条件是(　　) A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．存在λ∈R，使得b＝λa D．存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0 2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 3．(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的是(　　) A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2 4．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形　　　　 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 5．(2022·江苏南通期末)在△ABC中，已知D是AB边上一点，且3＝＋2，则(　　) A．＝2 B．＝　 C．＝2 D．＝ 二、填空题 6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＝λ，则λ＝________． 7．设点C在线段AB上，且2＝3，则＝________＝________. 8．已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________． 三、解答题 9．如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. 10．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于(　　) A．　 B． C．　 D． 11．已知在△ABC中，向量＝λ()(λ∈R)，则点P的轨迹经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 12．点P在△ABC所在平面上，且满足＝2，则＝(　　) A．　　　B． C．　　　D． 13．已知在△ABC中，点M满足＝0，若存在实数m使得＝m成立，则m＝________. 14．已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b. (1)若2＝0，求k的值； (2)若A，B，C三点共线，求k的值． 15．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0. (1)若D，E分别是边BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线； (2)求△ABC与△AOC的面积之比． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(四) 1．D　[注意向量a，b是否为零向量，分类讨论．若a，b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0；若a≠0，则由两向量共线知，存在实数λ，使得b＝λa，即λa－b＝0．故选D．] 2．AB　[A正确；B正确；C错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b；D错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.故选AB．] 3．ABC　[对于A，b＝－a，有a∥b； 对于B，b＝－2a，有a∥b； 对于C，a＝4b，有a∥b； 对于D，a与b不共线．故选ABC．] 4．C　[由条件可知＝－，所以AB∥CD，又因为||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．] 5．C　[3＝＋2，则有＝2， 可得＝2.故选C．] 6．2　[∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＝＝2，∴λ＝2．] 7．　－　[因为2＝3，所以＝，AC＝AB，CB＝AB，所以＝＝－．] 8．A，B，D　[∵＝e1＋2e2，＝ ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2， ∴共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线．] 9．解：＝＝－＝－a＋b＋c． ＝＝－＋＝－c－b＋a＝a－b－c． 10. C　[如图， ＝＝＝)＝×2＝．] 11．D　[设D为BC中点，则＝2，所以＝2λ，即点P在中线AD所在直线上，可知点P的轨迹必过△ABC的重心．] 12．B　[因为＝2＝2()，所以3＝＝，所以共线，且3||＝||，所以＝．] 13．3　[∵＝0， ∴＝－， 又由＝m得()－2＝m， 即－3＝m＝－m，所以m＝3．] 14．解：(1)因为2＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3． (2)＝＝－a＋4b，＝＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝． 15．解：(1)证明：如图， ＝2＝2． 因为＋2＋3＝()＋2()＝2(＋2)＝0，即2＝0，所以共线．又OD与OE有公共点O，所以D，E，O三点共线． (2)由(1)知2||＝||