专题11 直线与平面的位置关系-【中职专用】高二数学同步必备知识清单（高教版2021•拓展模块一 上册）

专题11 直线与平面的位置关系 高频考点题型归纳 【题型01 直线与平面的位置关系】 【题型02 直线与平面平行】 【题型03 直线与平面垂直】 【题型04 直线与平面所成角 】 1．直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内一一有无数个公共点； (2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行一一没有公共点． 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．直线a在平面α外可用a⊄α来表示． 2．空间中直线与平面位置关系的符号表示和图形表示 3．直线与平面位置关系的分类 (1)按公共点个数分类： (2)按是否平行分类： (3)按直线是否在平面内分类： 4 . 证明线面平行方法“一找二作三证明” 1、“一找二作三证明”是证明线面平行的常用方法，此证明方法分为三步，具体的操作流程如下： 第一步，就是“一找”：根据直线与平面平行的判定定理，要证明线面平行，只需要在这个平面内“找”出一条直线与已知直线平行即可.其次是“一找”的原则：一是要“找”的是线线平行，二是要在一个平面图形中“找”. 第二步，就是“二作”：在分析题意之后，若不能直接“找”到所需要证明的线线平行的关系，则进入“二作”的程序.从三个方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作辅助线或辅助平面，有简单的“作”或复杂的“作”；第二方面，每一次"作"的时候都要围绕证明所需去"作"，要证平行关系就去“作”线线平行；第三方面，要把线线平行的关系“作”在一个平面图形中. 第三步，就是"三证明"：经过第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且规范地写出证明命题的整体过程.在"三证明"中要注意三点，第一，数学符号要标准，几何语言表述要规范；第二，书写要有层次性；第三，最后表述证明结果时要严格遵守判定定理的条件. 注：线线平行的常见“找”法依据 （1） 中位线的平行； （2） 平行四边形的对边平行； （3） 平行线的传递性； （4） 线面垂直的性质定理； （5）面面平行的性质定理. 2、证明线面平行问题经常出现在立体几何试题中，此类问题主要考查线面平行的性质定理和判定定理的应用.而证明线面平行，关键在于作出合适的辅助线，构造出一组平行线或平行平面. （1）构造三角形的中位线 证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。 （2）构造平行四边形 我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。 （3）构造平行平面 面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面. 5.线面垂直的证明 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α 图形语言 6.直线与平面所成的角度问题 1.线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]； 2.垂线法求线面角： (1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面ɑ做垂线，确定垂足0；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面ɑ上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影B0与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 【题型01 线面平行的辨析】 【典例1】1．在空