（练习）课时分层作业10 数学归纳法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十)　数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明”1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)“，在验证n＝1成立时，左边的项是(　　) A．1　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 C　[因为左边式子中a的最高指数是n＋1，所以当n＝1时，a的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n＝1时，左边＝1＋a＋a2．] 2．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　) A．3k－1 B．3k＋1 C．8k　　 D．9k C　[因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k．] 3．用数学归纳法证明”当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除“的第二步是(　　) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N＋) B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N＋) C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N＋) D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋) B　[n∈N＋且为奇数，由假设n＝2k－1(k∈N＋)时成立推证出n＝2k＋1(k∈N＋)时成立，就完成了归纳递推．] 4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是(　　) A．1　　 B．1＋2 C．1＋2＋3　 D．1＋2＋3＋4 [答案]　D 5．对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即 ＜k＋1． 那么当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N＋，不等式均成立． 则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确 D　[此同学从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有应用归纳假设．] 二、填空题 6．用数学归纳法证明”设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，n≥2)“时，第一步要证的式子是________． 2＋f(1)＝2f(2)　[因为n≥2，所以n0＝2．观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f(1)＝2f(2)．] 7．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________． ＋＋…＋＋＞－　[观察不等式左边的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项．] 8．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N＋且n>1)第一步要证明的不等式是________，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了________项． 1＋＋<2　2k　[当n＝2时，1＋＋<2． 当n＝k时到第2k－1项， 而当n＝k＋1时到第2k＋1－1项， 所以2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k．] 三、解答题 9．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N＋时，an<an＋1． [证明]　(1)当n＝1时，因为a2是方程a＋a2－1＝0的非负根，所以a2＝，即a1<a2成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，0≤ak<ak＋1， 所以a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又ak＋2＋ak＋1＋1>0， 所以ak＋1<ak＋2， 即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立． 综上，可知an<an＋1对任意n∈N＋都成立． 10．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1． (1)写出a1，a2，a3，推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得结论． [解]　(1)由Sn＋an＝2n＋1，得a1＝，a2＝，a3＝，推测an＝＝2－(n∈N＋)． (2)证明：an＝2－(n∈N＋)． ①当n＝1时，a1＝2－＝，结论成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即ak＝2－，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1， 因为a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak， 所以2ak＋1＝ak＋2，所以2ak＋1＝4－，所以ak＋1＝2－， 所以当n＝k＋1时结论成立． 由①②知对于任意正整数n，结