（练习）课时分层作业9 数列在日常经济生活中的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(九)　数列在日常经济生活中的应用 一、选择题 1．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上一层的两倍，这座塔一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　) A．190　　　B．191　　　C．192　　　D．193 C　[设最上面一层有x盏，则第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x盏，…，第七层有26x盏， 由题意知，x＋2x＋4x＋8x＋…＋26x＝381，即＝381， 解得x＝3， 故底层所点灯的盏数是26×3＝192．] 2．夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7 ℃，已知山顶气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是(　　) A．1 500米 B．1 600米 C．1 700米 D．1 800米 C　[由题意知高山上每升高100米的气温构成数列{an}，则{an}是等差数列，其中a1＝26，an＝14.1，d＝－0.7， ∴14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)， ∴n＝18， ∴山高为(18－1)×100＝1 700(米)．] 3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　) A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 C　[由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2；当n＝1时也适合．据题意令an≥150⇒n≥5，即从第8年开始超过150，即这条生产线最多生产7年．] 4．某小区现有住房的面积为a平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n年后该小区的住房面积为(　　) A．a·1.1n－nb B．a·1.1n－10b(1.1n－1) C．n(1.1a－1) D．1.1n(a－b) B　[由an＋1＝an·1.1－b， a0＝a，a1＝a·1.1－b，则a2＝a·1.12－1.1b－b， a3＝a·1.13－1.12b－1.1b－b ＝a·1.13－b(1＋1.1＋1.12)， …， an＝1.1na－b(1＋1.1＋1.12＋…＋1.1n－1) ＝1.1na－b×＝1.1na－10(1.1n－1)b．] 5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　) A．f B．f C．f D．f D　[由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，设此数列为{an}，则a8＝f，即第八个单音的频率为f．] 二、填空题 6．某人为了观看2024年巴黎奥运会，从2020年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2024年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为________． [(1＋p)5－(1＋p)] 　[取出钱的总数应为a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)1 ＝a(1＋p)[1＋(1＋p)＋(1＋p)2＋(1＋p)3] ＝a(1＋p) ＝[(1＋p)5－(1＋p)]．] 7．某露天剧场有28排座位，每相邻两排的座位数相同，第一排有24个座位，以后每隔一排增加两个座位，则全剧场共有座位________个． 1 036　[第1，2排座位总数记为a1＝48，第3，4排座位总数为a2＝48＋4＝52，…，依次成公差为4的等差数列{an}，其中n＝14，Sn＝14×48＋×4＝1 036．] 8．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫作“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2 019]时，符合条件的a共有________个． 135　[法一：由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N， 则3m＝5n＋1，m，n∈N， 当m＝5k时，n不存在；当m＝5k＋1时，n不存在； 当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意； 当m＝5k＋3时，n不存在； 当m＝5k＋4时，n不存在．其中k∈N． 故2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－≤k≤， 则k＝0，1，2，…，134，共135个． 即符合条件的a共有135个， 故答案为135． 法二：一