（讲义）第2章 §4 4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§4　导数的四则运算法则 4.1　导数的加法与减法法则 4.2　导数的乘法与除法法则 1．掌握导数的四则运算法则．(重点) 2．能利用导数的四则运算法则求导函数．(重、难点) 通过利用导数的四则运算法则求导函数，培养数学运算素养． 已知函数f (x)＝x，g(x)＝x2． 问题1：[f (x)＋g(x)]′＝f ′(x)＋g′(x)吗？ [提示]　等于． 问题2：[f (x)－g(x)]′＝f ′(x)－g′(x)吗？ [提示]　等于． 问题3：[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)·g′(x)吗？ [提示]　不等于． 问题4：＝吗？ [提示]　不等于． 导数的运算法则 若两个函数f (x)和g(x)的导数分别是f ′(x)和g′(x)，则 两个函数的和的导数 [f (x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x) 两个函数的差的导数 [f (x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x) 两个函数的积的导数 [f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x) 特别地，[kf (x)]′＝kf ′(x)，k∈R 两个函数的商的导数 ′＝(g(x)≠0) 1．思考辨析(正确的画”√“，错误的画”ד) (1)[2f (x)]′＝2f ′(x)． (　　) (2)＝． (　　) (3)＝－． (　　) (4)(sin 2x)′＝2cos 2x． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列求导运算中正确的是(　　) A．＝1＋ B．(lg x)′＝ C．(ln x)′＝x D．(x2cos x)′＝－2xsin x B　[＝1－，故A错；(ln x)′＝，故C错；(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故D错，故选B．] 3．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． y＝4x－3　[函数的导数为f ′(x)＝3ln x＋1＋x×＝3ln x＋4， 所以在(1，1)处的切线斜率为k＝4， 所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3．] 4．求下列函数的导数． (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (4)y＝tan x． [解]　(1)y′＝(3x2＋xcos x)′＝(3x2)′＋(xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x． (2)y′＝＝(lg x)′－＝＋． (3)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11． (4)y′＝(tan x)′＝ ＝ ＝＝． 类型1　利用导数的运算法则求导数 【例1】　求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x2＋log3x； (3)y＝x2·sin x； (4)y＝． [思路点拨]　结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [解]　(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5． (2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋． (3)y′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2x·sin x＋x2·cos x． (4)y′＝ ＝＝． 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则．对较为复杂的求导运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量． [跟进训练] 1．设f (x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值等于(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． D　[f ′(x)＝3ax2＋6x，∴f ′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝．] 类型2　导数与曲线的切线问题 【例2】　已知函数f (x)＝x3＋x－16． (1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． [解]　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f (x)上． ∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13． ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32． (2)设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1， ∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 又∵直线l过点(0，0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8，∴x0＝－2． ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，