（讲义）第2章 §2 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

§2　导数的概念及其几何意义 2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 1．了解导数的概念；理解导数的几何意义．(重点) 2．会用导数的定义求导数．(重点) 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(难点) 1．通过对导数的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，培养数学运算素养． 问题1：函数y＝f (x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？ [提示]　表示过A(x0，f (x0))和B(x0＋Δx，f (x0＋Δx))两点的直线的斜率． 问题2：当Δx变化时，直线如何运动？ [提示]　直线AB绕点A转动． 问题3：当Δx→0时，平均变化率变成了什么？直线转动到什么位置？ [提示]　平均变化率变成了瞬时变化率 ，即f′(x0)，直线过点A与曲线y＝f (x)相切位置． 1．导数的概念 定义 ＝ 记法 f′(x0)或y′| 实质 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数就是y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率 2．导数的几何意义 (1)切线：如图，当点Pn(xn，f (xn))(n＝1，2，3，4，…)沿着曲线f (x)趋近于点P(x0，f (x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPn的斜率是kn＝．当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率． 图①　　　　　　图② 图③　　　　　　图④ (2)几何意义：函数y＝f (x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线的斜率．函数y＝f (x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． 如图所示，直线l是曲线y＝f (x)在点P0处的切线，这与以前学习的直线与圆相切时，直线与圆有且仅有一个公共点是否相同？如何理解？ [提示]　不相同．曲线y＝f (x)在某点处的切线只是在切点P0附近区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止一个，因此，直线l是曲线y＝f (x)在切点P0处的切线，但在点A处不是曲线的切线． 1．思考辨析(正确的画”√“，错误的画”ד) (1)f′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率． (　　) (2)曲线y＝f (x)在某点处的切线与曲线y＝f (x)过某点的切线意义是相同的． (　　) (3)若f (x)＝|x|，则f′(0)不存在． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数y＝x2在x＝1处的导数为(　　) A．2x　　 B．2＋Δx C．2 D．1 C　[y＝x2在x＝1处的导数为f′(1)＝ ＝2．] 3．设函数f (x)＝ax＋b，若f (1)＝f′(1)＝2，则f (2)＝________． 4　[函数f (x)＝ax＋b在x＝1处的导数为f′(1)＝ ＝ ＝ ＝a， 又f′(1)＝2，得a＝2，而f (1)＝2，有a＋b＝2，于是b＝0， 所以f (x)＝2x，所以f (2)＝4．] 4．求曲线f (x)＝在点(－2，－1)处的切线方程． [解]　∵点(－2，－1)在曲线y＝上， ∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝在x＝－2处的导数． ∴k＝f′(－2)＝ ＝ ＝ ＝－， ∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0． 类型1　利用定义求函数在某点处的导数 【例1】　求函数y＝f (x)＝3x2－2x在x＝1处的导数． [解]　Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，因为＝＝3Δx＋4， 所以 ＝ (3Δx＋4)＝4． [母题探究] 在本例条件，若f′(x0)＝0，则x0为何值？ [解]　Δy＝3(x0＋Δx)2－2(x0＋Δx)－(3x－2x0) ＝3[x＋2x0Δx＋(Δx)2]－2(x0＋Δx)－3x＋2x0 ＝6x0Δx＋3(Δx)2－2Δx 所以＝6x0＋3Δx－2， 所以 ＝6x0－2，所以f′(x0)＝6x0－2． 由f′(x0)＝0，得x0＝． 求函数y＝f (x)在点x0处的导数的步骤 类型2　求曲线上一点处的切线方程 【例2】　已知曲线y＝x3上一点P， (1)求点P处切线的斜率； (2)写出曲线在点P处的切线方程． [思路点拨]　本题考查导数的几何意义．根据导数的几何意义知，函数f (x)在点x＝x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程． [解]　(1)∵y＝x3， ∴f′(2)＝ ＝ ＝ ＝4． ∴点P处切线的斜率为4． (2)∵由(1)知点P处切线的斜率为4，且点P的坐标为， ∴在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)