（讲义）第1章 §1 1.2 数列的函数特性-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(北师大版2019)

1.2　数列的函数特性 1．了解数列的几种简单表示方法．(重点) 2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．(重点) 3．掌握判断数列的增减性的方法．(重、难点) 1．通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养． 观察以下几个数列： ①1，2，3，4，…； ②－2，－4，－6，－8，…； ③1，1，1，1，…． 从单调性上考查，以上三个数列有何特点？联想函数单调性的定义，如何定义数列的单调性？ [提示]　①是递增的数列；②是递减的数列；③是常数列． 1．数列的表示方法 表示一个数列，我们可以用图象、列表、通项公式． 2．递增数列、递减数列、常数列 名称 定义 表达式 图象特点 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1>an(n∈N＋) 上升 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1<an(n∈N＋) 下降 常数列 各项都相等 an＋1＝an(n∈N＋) 不升不降 1．在数列{an}中，an＝，请说出数列{an}与函数f (x)＝(x>0)的图象的区别与联系？ [提示]　数列{an}的图象是一群孤立的点，而函数f (x)的图象是一条光滑的曲线，表示数列图象的点分布在函数图象上． 2．若函数y＝f (x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，那么数列an＝f (n)一定是递增数列吗？反之，是否一定成立？ [提示]　一定是递增数列，反之，不一定成立，例如an＝n2－n(n∈N＋)是递增数列，但f (x)＝x2－x在区间[1，＋∞)上不单调． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． (　　) (2)若∀n∈N＋，>1，则数列{an}是递增数列． (　　) (3)若∃m，n∈N＋，且m<n，使得am>an，则数列{an}不是递增数列． (　　) (4)若∀n∈N＋，an＋3＝an，则a2 022＝a3． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知数列{an}满足：任意m，n∈N＋，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． A　[由题意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，则a5＝a3·a2＝．] 3．在数列{an}中，an＝n2－9n(n∈N＋)，则此数列最小项的值是________． －20　[an＝n2－9n＝－， ∵n∈N＋，∴当n＝4或n＝5时，an取最小值－20．] 4．对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f (an)，n∈N＋，依照下表，求a2 022． x 1 2 3 4 5 f (x) 5 4 3 1 2 [解]　a1＝4，a2＝f (4)＝1，a3＝f (1)＝5，a4＝f (5)＝2，a5＝f (2)＝4，…， 该数列是周期为4的周期数列， 所以a2 022＝a2＝1． 类型1　数列的图象及其应用 【例1】　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－10n＋10，这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？ [思路点拨]　画出数列{an}的图象，借助图象求解． [解]　表示数列{an}的各点都在函数y＝x2－10x＋10的图象上． 由图可得， 这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大， 从第9项起各项的数值均为正值， 第9项是与首项相同的项． 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系．因此，涉及数列的单调性、最值等问题均可仿照求函数单调性、最值问题的方法来研究，不过在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件． [跟进训练] 1．若数列{an}的通项公式为an＝－n2＋7n(n∈N＋)，求an的最大值，并与函数f (x)＝－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较． [解]　作出函数f (x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象与数列{an}的图象． 从图象上看， 表示数列{an}的各点都在抛物线f (x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象上， 由数列{an}的图象，得an的最大值为a3＝a4＝12， 由函数f (x)的图象，得f (x)的最大值为f ＝， 因此，an的最大值小于f (x)的最大值． 类型2　数列的单调性的判定 【例2】　已知数列{an}的通项公式an＝，试判断该数列的增减性． [思路点拨]　可用作差法或作商法判断数列的增减性． [解]　法一：an＋1－an＝－ ＝． 因为n∈N＋，所以1－n2－n＝1－n(n＋1)≤1－2＝－1<0， 所以an＋1－an<0，即an＋1<an．故该数列为递减数列． 法二：因为＝＝＜1， 所以an＋1<an．