第01讲：一元二次方程（必刷8大考题+8大题型）-2023-2024学年九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习（人教版）

第01讲：一元二次方程 【考点梳理】 考点一：一元二次方程的概念问题 考点二：解一元二次方程（直接开平方、配方法） 考点三：解一元二次方程（因式分解） 考点四：解一元二次方程（公式法） 考点五：判别式的应用 考点六：根与系数的关系 考点七：实际问题 考点八：一元二次方程的综合 【知识梳理】 考点一、一元二次方程的定义： (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 考点二、一元二次方程的一般形式： 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 考点三、一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的 ，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中 的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根． 考点四:降次——解一元二次方程 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）. (4) 配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法． 先 根的判别式 (1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根． 1 学科网（北京）股份有限公司 考点五：根与系数的关系 （1）韦达定理：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解. 例如：，注意△=b2-4ac≥0. 考点六：列一元二次方程解应用题 （1） 解题步骤： ①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． （2） 应用模型： 一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； （期末必考一道大题） ③传播、比赛问题： 【题型归纳】 题型一：一元二次方程的概念问题 1．（2023上·天津东丽·）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D． 2．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2021 C． D．2025 3．（2023上·云南昭通·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2025 B．2014 C．2023 D．2022 题型二：解一元二次方程（直接开平方、配方法） 4．（2022·广东广州·统考一模）方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： ①；②；③；④； ⑤；⑥． 小明的解答从第______步开始出错． A．① B．③ C．④ D．⑤ 6．（2023下·浙江绍兴·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程x2+4x+1=0，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 题型三：解一元二次方程（因式分解） 7．（2023上·山西太原·九年级期末）将转化为两个一元一次方程，这两个方程是（    ） A． B． C． D． 8．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）方程的解是（    ） A．， B．， C． D． 9．（2023上·河北保定·九年级统考期末）若关于m的方程的解为，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 题型四：解一元二次方程（公式法） 10．（2022上·天津红桥·九年级校考期末）方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 11．（2022上·河北沧州·九年级校考阶段练习）下列方程中，以为根的是（　　） A． B． C． D． 12．（2022上·山西长治·九年