（讲义）第2章 §2 2.2 向量的减法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

2.2　向量的减法 1．掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义．(重点) 2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．(难点) 1．通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养． 2．通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养． 小明的父亲在A地工作，他经常乘飞机从A地到B地开会，再从B地到C地洽谈业务．若A地到B地的位移用向量a表示，B地到C地的位移用向量b表示，A地到C地的位移用向量c表示． 阅读教材，综合上述情境回答下列问题： 问题：上述问题中，b能用a，c表示吗？ 知识点1　相反向量 定义 把与向量a长度相等、方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，记作－a 规定：零向量的相反向量仍是零向量． 性质 (1)－(－0)＝0； (2)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a． 知识点2　向量减法 (1)定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)几何意义 如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗？ [提示]　因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)＝－； (　　) (2)相反向量是共线向量； (　　) (3)a－b的相反向量是b－a； (　　) (4)|a－b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．－＋＋＝(　　) A． B． C． D． [答案]　B 类型1　向量减法的几何作图 【例1】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解]　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. [母题探究] 若本例条件不变，则a－b－c如何作？ [解]　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c. 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，则＝a－b. (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b. [跟进训练] 1．如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作： (1)向量b＋c－a； (2)向量a－b－c. [解]　(1)以，为邻边作▱OBDC，如图， 连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a. (2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图， 作▱OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c. 类型2　向量减法的运算 【例2】　化简下列式子： (1)－－－； (2)(－)－(－). [解]　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0. (2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0. 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． (3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点． 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧． [跟进训练] 2．化简：(1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－). [解]　(1)(－)－(－)＝－＝. (2)(＋＋)－(－－) ＝＋－＋(＋) ＝＋－＋ ＝－＋＝＋＋ ＝＋＝0. 类型3　向量加减法的综合应用 【例3】　(1)已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则|a－b|＝________． (2)已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. (1)　[(1)设＝a，＝b，＝a＋b，则四边形ABCD是平行四边形． 又∵()2＝12＋22， ∴平行四边形ABCD为矩形， ∴|a－b|＝＝||＝.] (2)[解]　如图所示： ＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋c－b. 用已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可． [跟进训练] 3．设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状． [解]　由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，即－＝－， ∴＝，于是AB与CD平行且相等， ∴四边形ABCD为平行四边形． 又|a－b|＝|a－d|， 从而|－|＝|－|， ∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形． 1．在△ABC中，