（讲义）第1章 §6 第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 1．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝A sin 的图象．(重点) 2．理解并掌握函数y＝A sin 图象的平移与伸缩变换．(重点、难点) 3．掌握A、ω、φ对图象形状的影响．(难点，易混点) 通过画函数y＝A sin 的图象，培养直观想象素养． 在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象． (1)　　　　　　　　(2) 将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝A sin (ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？ 问题　1.函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？ 2．如何做出函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象？ 知识点1　周期变换 (1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率． (2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的． 1．要得到y＝sin 3x的函数图象只需将y＝sin x图象的横坐标__________纵坐标不变即可． [答案]　缩短为原来的 知识点2　相位变换 (1)在函数y＝sin (x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位． (2)对于函数y＝sin (x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的． 如何由y＝sin 的图象变换为y＝sin x的图象？ [提示]　向左平移个单位长度． 2．已知简谐运动f (x)＝2sin (＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ A　[T＝＝＝6，代入(0，1)点得sin φ＝. ∵－<φ<，∴φ＝.] 知识点3　振幅变换 (1)在函数y＝A sin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． (2)要得到函数y＝A sin x(A＞0，A≠1)的图象，只要将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到． 3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝－sin 的振幅是－. (　　) (2)函数y＝3sin 的初相是. (　　) [答案]　(1)×　(2)× 类型1　作函数y＝A sin ＋b的图象 【例1】　作出函数f (x)＝sin (2x＋)在[0，π]上的简图． 类比y＝sin x的“五点法”作图，思考画y＝sin 在[0，π)上的图象如何取点． [解]　列表如下： 2x＋ π π π x 0 π π π f (x) 1 0 －1 图象如图： 五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法： (1)分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想． (2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标． [跟进训练] 1．用五点法作函数y＝2sin 的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相． [解]　(1)列表：列表时2x＋取值为0、、π、、2π，再求出相应的x值和y值． 2x＋ 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 (2)描点． (3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示． 由解析式可知，振幅A＝2，周期T＝π，频率f＝，初相φ＝. 类型2　图象变换 【例2】　如何由y＝sin x的图象得到y＝2sin (2x－)的图象？ [解]　途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) y＝sin x y＝sin y＝sin y＝2sin . 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换． y＝sin x y＝sin 2x y＝sin y＝2sin . 由y＝sin x的图象经过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下： (1)(相位变换)先把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得