专题13 二阶导求解问题-2024年新高考数学二轮复习重难点突破练（新高考专用）

专题13 二阶导求解问题 一、单选题 1．丹麦数学家琴生是19世纪对数学解析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设函数（，e为自然对数的底数），若存在使成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，若，恒成立，则正数m的最小值是（    ） A． B．1 C． D．e 5．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．若函数，则函数在上（    ） A．存在极小值，且极小值为 B．存在极小值，且极小值大于 C．存在极大值，且极大值为 D．存在极大值，且极大值小于 二、多选题 9．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 11．关于的不等式在上恒成立，则（    ） A． B． C． D． 12．已知函数有两个极值点，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．设函数，若为上的单调函数，则实数的取值范围为 . 14．已知函数.若是的极大值点，则正实数a的取值范围为 . 15．已知函数，时，，则实数的范围是 . 16．已知，，若，，都有，则的取值范围为 . 四、解答题 17．已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围． 18．已知函数，． (1)若的最大值是0，求的值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 19．已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求整数a的最大值． 20．已知函数 (1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值． (2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增； 21．已知函数，． (1)证明：存在唯一零点； (2)设，若存在，使得，证明：． 22．已知函数，其中是自然对数的底数． (1)若，是函数的极值点，证明：； (2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二阶导求解问题 一、单选题 1．丹麦数学家琴生是19世纪对数学解析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由于，则， 得，由于在上为“凸函数”， 所以 在上恒成立，即在上恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递增， 于是，故.故选:  C 2．若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】化简不等式可得，即：， 令（），则对任意的，， 所以，设，， 则，令， 所以，所以在上单调递减， 又因为，所以，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，解得：，即：的取值范围为.故选：A. 3．设函数（，e为自然对数的底数），若存在使成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】 存在，使成立，即存在，使成立， 即， 存在，使与有交点， 对求导得，再求导得， 令，解得，当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增， == ，，即在上恒大于0， 在上单调递增， 要使与有交点，则.故选：C. 4．已知，若，恒成立，则正数m的最小值是（    ） A． B．1 C． D．e 【解析】由，化简可得，即．令，则原不等式可化为， 由已知在上为单调递减函数，又，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，，当时，．故当时，，当时，．即在上单调递增，在上单调递减．所以．所以正数m的最小值是1， 故选：B． 5．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，， 设函数，则， 令，故， 所以函数在上单调递减，而， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减，故，则.故选：B． 6．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B