专题20 三角函数新定义问题-2024年新高考数学二轮复习重难点突破练（新高考专用）

专题20 三角函数新定义问题 一、单选题 1．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，，，，，，，…，则（    ） A． B． C． D． 3．计算器是如何计算、、、、等函数值的?计算器使用的是数值计算法，如，，其中，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的和的值也就越精确，运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 4．计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（    ） A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56 5．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 6．对于角的正切的倒数，记作，称其为角的余切．在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（    ） A． B． C． D．与有关的值 8．已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，则（    ） A．是奇函数 B． C．的一个周期是 D．的最小值小于0 二、多选题 9．已知当时，有不等式成立.据此结论，下列各角满足不等式的有（    ） A． B． C． D． 10．已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（    ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”；对于正余弦函数，以下性质中正确的是（  ） A．函数关于对称 B．函数关于对称 C．函数在单调递增 D．函数值域为 12．已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，下列关于结论正确的是 A． B．的一个周期是 C．在上单调递减 D．的最大值大于 三、填空题 13．我们规定把叫做对的余弦方差，那么对任意实数B，B对的余弦方差是 ． 14．对任意闭区间，表示函数在区间上的最大值，则 ，若，则的值为 ． 15．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有 ．（选填序号） 16．设函数（）满足，当时，，则 . 四、解答题 17．已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质． (1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由； ①；②． (2)若函数具有性质，求的最小值； 18．若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． (1)若0比sinx远离，求x的取值范围； (2)已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 19．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. (1)若函数，求函数的伴随向量； (2)若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值； (3)若函数的伴随向量为，，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值． 20．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 21．已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数. (1)设，求的特征向量； (2)设向量的特征函数为，求当且时，的值； (3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值. 22．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)设函数，