(讲义)第5章 万有引力定律及航天 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中物理必修第二册(鲁科版2019)

主题1　中心天体质量和密度的计算 天体的运动可以近似看成匀速圆周运动，中心天体质量和密度的计算涉及两种解题思路。 (1)利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，天体的运动遵循牛顿第二定律求解。即 G＝ma (2)利用天体表面物体的重力约等于万有引力来求解，即G＝mg⇒M＝⇒ρ＝。 【典例1】　“嫦娥三号”探测器在环月运行时，其运行周期为T，距离月球表面的高度为h，已知月球的半径为R，万有引力常量为G。若将“嫦娥三号”探测器的运行轨道看作圆轨道，求： (1)月球质量M； (2)月球的平均密度。 思路点拨：(1)由万有引力提供向心力，用上周期T，可得M。 (2)球体体积：V＝πR3，M＝ρV＝πR3ρ。 [解析]　(1)“嫦娥三号”探测器的运行轨道看作圆轨道，万有引力提供向心力，所以＝m(R＋h)， 得M＝。 (2)月球的平均密度 ρ＝＝。 [答案]　(1)　(2) 主题2　“黄金代换”式成立的三种情形 对于“黄金代换”式GM＝gR2，绝对不可以理解为只要在地球表面上就能成立，其成立是有条件的。“黄金代换”式成立的一般情形有三种。 1．对于地球两极上的物体恒成立 处在地球两极上的物体，由于没有随地球自转而做匀速圆周运动，地球对物体的万有引力等于物体的重力。 故G＝mg，即有GM＝gR2。 2．如果忽略地球的自转效应，对于地球表面上任意位置处的物体都成立 同一个物体，由于随地球自转而需要的向心力与其自身的重力相比小得多(可以证明)，故可以近似认为G＝mg。当然，如果要计算地球某纬度处的物体随地球自转而需要的向心力时，则G＝mg不成立。 3．对于以环绕速度(v＝7.9 km/s)运行的近地人造卫星成立 这种人造卫星的环绕速度等于第一宇宙速度。对该人造卫星，由万有引力定律可得G＝mg′，由于该卫星离地面的高度h≪R，所以R＋h≈R，则在离地面高为h处的重力加速度g′＝g。故对该卫星而言，可以把G＝mg′近似视为G＝mg，即GM＝gR2。 【典例2】　若有一人造卫星距地面高度为h，地球质量为M、半径为R，地面的重力加速度为g，引力常量为G。 (1)试分别用h、R、M、G表示该人造卫星运行的周期T、线速度v和角速度ω； (2)试分别用h、R、g表示该人造卫星运行的周期T、线速度v和角速度ω。 [解析]　此题已明确要求要分别用“h、R、M、G”与“h、R、g”表示人造卫星的周期T、线速度v和角速度ω。如果用M、g、R进行表示，则必然要用到“GM＝gR2”。 (1)卫星运动由万有引力提供向心力，根据向心力的不同表达形式，有 G＝m(R＋h)＝m＝mω2(R＋h) 解得T＝2π，v＝， ω＝。 (2)由于万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则对离地面高为h处的卫星，有 G＝m(R＋h)＝m＝mω2(R＋h) 又地面上的物体，有＝m′g 由以上各式可得 T＝，v＝，ω＝。 [答案]　见解析 主题3　双星模型 1．什么是双星模型 宇宙中往往会有相距较近、质量相差不多的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫作双星系统。 2．双星模型的特点 【典例3】　如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在万有引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线。A和B分别在O的两侧，引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期； (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。(结果保留3位小数) [解析]　(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度一样，周期也一样，其所需向心力由两者间的万有引力提供，由牛顿第二定律得： 对于M：G＝Mr1 对于m：G＝mr2 其中：r1＋r2＝L 由以上三式，可得：T＝2π。 (2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知两者运行周期为 T1＝2π 若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得：G＝mL 解得：T2＝ 故：＝≈1.012。 [答案]　(1)均为2π　(2)1.012 [一语通关]　双星模型的三个特点 (1)两星之间的万有引力提供各自所需的向心力，所以向心力大小是相等的。 (2)两星绕连线上的某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同，角速度、周期相同。 (3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，线速度与轨道半径成正比。 1 学科网（北京）股份有限公司