专题4.4等比数列（十一个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）

专题4.4等比数列 知识点一等比数列的概念与通项公式 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,. 3.等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为. （2）第项与第项的关系为,变形得. （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 知识点二 等比数列的常用性质 （1）如果,则有. （2）如果,则有. （3）若成等差数列,则成等比数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递增数列; ②当或时,等比数列为递减数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 重难点1利用定义判断等比数列 1．在数列中，，则（    ） A．12 B．16 C．32 D．64 2．已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 4．（多选）设是等比数列，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 5．已知和为项数相同的等比数列，公比分别为和．求证：为等比数列，其公比为． 6．已知是各项均为正数的等比数列，公比为q，求证：是等比数列，并求该数列的公比． 重难点2等比数列基本量的计算 7．在等比数列中，若，则的公比（    ） A． B． C． D．4 8．在等比数列中，，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 9．若等差数列和等比数列满足，，，则的公差为（    ） A． B． C． D． 10．在等比数列中，成等差数列，则（    ） A．3 B． C．9 D． 11．已知正项等比数列满足:，若存在两项使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 12．在等比数列中，若，则 . 重难点3等比中项及其应用 13． 与的等比中项是 ． 14．在等比数列中，，则与的等比中项为 . 15．已知等比数列满足，，则 . 16．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为 ． 17．记为等差数列的前项和．若，且成等比数列，则的值为 ． 18．已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是 . 重难点4等比数列的性质 19．在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 20．已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 21．数列为等比数列，且，则 ． 22．等比数列满足：，则的最小值为 ． 23．若等比数列满足，，则 ． 24．设等比数列满足，则 . 25．在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 重难点5等比数列的证明 26．已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列. 27．已知数列满足，. (1)求证：是等比数列. (2)求. 28．已知数列满足，. (1)若数列满足，求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 29．已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式. 30．已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式： 31．已知数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； 知识点三 等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 知识点四 等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则;若项数为,则. （2）若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为,公比为. （3）若一个非常数列的前项和,则数列为等比数列,即数列为等比数列. 重难点6前n项和