第14讲 函数模型及其应用讲义-2024届高三数学一轮复习

第14讲 函数模型及其应用 【必备知识】 1．常见的8种函数模型 (1)正比例函数模型：为常数，； (2)反比例函数模型：为常数，； (3)一次函数模型：为常数，； (4)二次函数模型：为常数，； (5)指数函数模型：为常数，，； (6)对数函数模型：为常数，； (7)幂函数模型：为常数，； (8)“对勾”函数模型：． 2．三种函数模型的性质 函数性质 在上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随的增大，逐渐表现为与轴平行 随值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 考点44 二次函数、分段函数模型 【常见方法】二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略 (1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解． (2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小． (3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值． 【例44】1、国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 2、某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系 已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4元 二月份 14元 三月份 19元 若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为(　　) A．11.5元　　　　　B．11元 C．10.5元 D．10元 3、A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度． (1)求的取值范围； (2)把月供电总费用表示成的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使月供电总费用最少？ 考点45 指数函数、对数函数模型 【常见方法】1．掌握2种函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 2．建立函数模型解应用问题的4步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中． 【例45】1、某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量(微克)与时间(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出第一次服药后与之间的函数关系式；　 (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间． 2、某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了次涨停(每次上涨)，又经历了次跌停(每次下跌，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　) A．略有盈利 B．略有亏损 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况 3、声强级(单位：分贝)由公式给出，其中为声强(单位：W/m2)． (1)平常人交谈时的声强约为，求其声强级． (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$