第13讲 函数与方程讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第13讲 函数与方程 【必备知识】 1．函数零点的概念：零点非点 (1)零点的定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． (2)零点的几个等价关系：方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 函数的零点不是函数与x轴的交点，而是与轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数. 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2．函数的零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根． 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 函数零点方程根，形数本是同根生； 函数零点端点判，图像连续不能忘。 3．二分法的定义 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 4.常用结论 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 5.零点存在性定理 函数零点的求法： 解方程法：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点。 双函数法：转化为两个函数的图象的交点个数问题。先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。 ③零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。 6.二分法及步骤： 考点41　判断函数零点所在的区间 【常见方法】确定函数的零点所在区间的常用方法 (1)定理法：使用零点存在性定理，函数必须在区间上是连续的，当时，函数在区间内至少有一个零点． (2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数的零点．　 【例41】1、函数的零点所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(－1,0) C．(1,2) D．(2,3) 2、设函数，则函数(　　) A．在区间，内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间，内均无零点 D．在区间内无零点，在区间内有零点 3．若，则函数的两个零点分别位于区间(　　) A．和内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 考点42　判断函数零点个数 【常见方法】掌握判断函数零点个数的3种方法 (1)解方程法：若对应方程可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点． (2)定理法：利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数． (3)数形结合法：（又称双函数法）合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数． 【例41】1、已知函数，则函数的零点个数是(　　) A．0　　　　　B．1 C．2 D．3 2、函数，的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 3、已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是(　　) A．9 B．10 C．11 D．18 考点43 函数零点的应用 【常见方法】已知函数有零点(方程有根)， 求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，化为的形式，进而转化成求函数最值问题加以解决； (3)数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解．　　 角度1已知函数零点个数求参数范围 【例42】1、已知函数，若存在2个零点，则的取值范围是(　　) A．[－1,0)　　　B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 2、已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(　　)A. B． C. D. 3、，若有六个根，则实数的取值范围是________ 角