第11讲 对数函数讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第11讲 对数函数 【必备知识】 1、对数的概念 （1）定义： 两个重要对数： 常用对数 ； 自然对数 ． （2）对数式与指数式的互化 （3）对数的性质 ①零和负数无对数；②1的对数是零：；③底数的对数是1：； 2、对数的运算性质 （1）对数的性质 ①；②。 （2）对数的重要公式 ①换底公式：(，均大于零，且不等于1)； ②，推广。 （3）对数的运算法则 如果，那么 ①； ②； ③； ④对数恒等式：；⑤． 3、定义：函数且)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 4、对数函数的图象和性质 图 象 性 质 (1)定义域： (2)值域： (3)过点，即时， (4)当时，当时， (4)当时，当时， (5)是(0，＋∞)上的单调递增 (5)是(0，＋∞)上的单调递减 (6)的图象与y＝(且)的图象关于轴对称 5、与的关系 指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称。 说明： （1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数； （2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”； （3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型． 考点35 对数式的化简与求值 【常见方法】对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算． 特别提醒：对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现的错误． 【例35】1、计算下列各式： (1)； (2). 2、计算：＝________. 3、已知函数．若，则＝________. 4、计算：＝________. 考点36 对数函数的图像及应用 【常见方法】对数型函数图象的考查类型及解题思路 (1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解． (2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法．　　 【例36】1、函数的图象是(　　) 2、已知当时，有，则实数的取值范围为________． 3．已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________． 4、不等式对恒成立，求实数的取值范围． 考点37 对数函数的性质及其应用 角度1　比较对数值的大小 【常见方法】比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 【例37】1、已知则的大小关系为(　　) A．　　　B． C． D． 2、已知，则的大小关系为(　　) A． B． C． D． 3、已知，则（ ） A． B． C． D． 角度2　解简单对数不等式 【常见方法】解对数不等式的方法 (1)形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论． (2)形如的不等式，需先将化为以为底的对数式的形式．　　 3、已知不等式成立，则实数的取值范围是________． 4、若定义在区间(－1,0)内的函数满足，则实数的取值范围是(　　)A. B. C. D． 角度3　对数型函数性质的综合问题 【常见方法】求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤 一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论 二判 判断对数函数的底数与1的关系，分与两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 5、已知函数，若，求的单调区间． 6、已知，若函数在[3,4]上是增函数，则的取值范围是________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$