第10讲 指数函数讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第10讲 指数与指数函数 【必备知识】 1、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 正数的分数指数幂的意义 规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 结论：当是奇数时， 当是偶数时， （2）有理指数幂的运算性质 ①·②③． 2、指数函数的概念:一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为． 3、指数函数的图象和性质 图象 定义域 值域 (0，＋∞) 性质 (1) 过定点（0,1） (2) 当单调递增；当单调递减 考点32 指数幂的化简与计算 【常见方法】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． 【例32】 1、若实数，则下列等式成立的是(　　) A．　　　　B． C． D． 2、化简下列各式：(1)； (2). 3、已知，则________ 4、已知函数，则________ 考点33 指数函数的图像及其应用 【常见方法】与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．　 【例33】1、函数的大致图象为(　　) 2、若函数在单调递减，则的取值范围为________． 3、若函数有一个零点，则的取值范围为______． 考点34 指数函数的性质及其应用 角度1比较指数式的大小 【常见方法】比较指数式大小的常用方法 (1)单调性法，不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底； (2)取中间值法，不同底、不同指数的指数式比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系； (3)图解法，根据指数式的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．　　 【例34】1、已知，则(　　) A．　　　　　B． C． D． 2．设，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 角度2解简单的指数方程或不等式 【常见方法】简单的指数方程或不等式问题的求解策略 (1)． (2)，当时，等价于；当时，等价于． (3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 3、若偶函数满足，则不等式的解集为______． 4、已知函数，则不等式的解集为 . 角度3指数型函数性质的综合问题 【常见方法】与指数函数有关的复合函数的单调性 形如函数的单调性，它的单调区间与的单调区间有关： (1)若，函数的单调增(减)区间即函数的单调增(减)区间； (2)若，函数的单调增(减)区间即函数的单调减(增)区间．即“同增异减”． 5、已知实数，函数，若，则的值为________． 6、已知函数 (1)若为奇函数,求的值和此时不等式的解集; (2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$