4.4 平行四边形的判定定理-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

４．４　平行四边形的判定定理 　 'F (１)“一组对边平行并且相 等”是对于“同一组对边”而 言的,不能理解为“一组对 边平行,另一组对边相等”, 这种情况下,四边形不一定 是平行四边形． (２)符 号 “􀱀”表 示 平 行 且 相等． 知识点一　平行四边形的判定定理１ 文字语言 符号语言 一组对边平行并且相 等的四边形是平行四 边形 A D B C 在四边形 ABCD 中, 因为 AB􀱀CD,所以 四边 形 ABCD 是 平 行四边形 图４．４Ｇ１ 【例１】如图４．４Ｇ１,在四边形 ABCD 中, AB∥DC,E 是BC 的中点,AE 与DC 的延长线相交于点F,连结AC,BF．求 证:四边形ABFC 是平行四边形． 证明:因为AB∥DC,所以AB∥CF, 所以∠BCF＝∠CBA． 又因为CE＝BE,∠CEF＝∠BEA, 所以△CEF≌△BEA．所以CF＝BA． 所以四边形ABFC 是平行四边形． 　　当已知四边形的一组对边平行(或相等)时,若能 说明这组对边相等(或平行),就可以说明这个四边形 是平行四边形． 　知识点二　平行四边形的判定定理２ 文字语言 符号语言 两组对边分别相等 的四边形是平行四 边形 在四 边 形 ABCD 中, 因为 AB＝CD,AD＝ BC, 所 以 四 边 形 ABCD 是平行四边形 ６３１ 图４．４Ｇ２ 【例２】如图４．４Ｇ２,在▱ABCD 的各边AB,BC,CD,DA 上, 分 别 取 点 K,L,M,N,使 AK＝CM,BL＝DN．求证: 四边形KLMN 为平行四边形． 证明:因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AD＝BC,AB＝CD,∠A＝∠C,∠B＝∠D． 因为AK＝CM,BL＝DN, 所以BK＝DM,CL＝AN． 所以△AKN≌△CML,△BKL≌△DMN． 所以KN＝ML,KL＝MN． 所以四边形KLMN 是平行四边形． 　知识点三　平行四边形的判定定理３ 文字语言 符号语言 对角线互相平分的 四 边 形 是 平 行 四 边形 在四边形 ABCD 中, 因为OA＝OC,OB＝ OD,所 以 四 边 形 ABCD为平行四边形 【例３】如图４．４Ｇ３所示,在四边形AFBE 中,对角线AB, EF 相交于点O,AC∥DB,AO＝BO,E,F 分别是CO, DO 的中点．求证:四边形AFBE 是平行四边形． 图４．４Ｇ３ 证明:因为AC∥BD,所以∠C＝∠D,∠CAO＝∠DBO． 因为AO＝BO,所以△AOC≌△BOD．所以CO＝DO． 因为E,F 分别是CO,DO 的中点,所以EO＝ １ ２CO , FO＝ １ ２DO． 所以EO＝FO．所以四边形AFBE 是平行四边形． 　 'F (１)必须是两组对边分别相 等,而不是邻边． (２)这个定理是从两组对边 的角度考虑,当已知有一组 对边相等时,可考虑这一组 对边平行或考虑另一组对 边相等来证明四边形是平 行四边形． ７３１ 　 　 'F 只有满足“两组对角分别相 等”才能判定一个四边形是 平行四边形,只有一组对角 相等的四边形不一定是平 行四边形．  平行四边形判定速记口诀 要证平行四边形, 两个条件才能行． 一证对边都相等, 二证对边都平行． 一组对边也可以, 必须相等且平行． 对角线,是个宝, 互相平分不能少． 对角相等也有用, 两组对角才能行． 若一个四边形的两条对角线相交于一点,且已知 (或易证)交点是某一条对角线的中点,则证该交点也 是另一条对角线的中点,即可判定该四边形是平行四 边形． 知识点四　根据角的关系判定平行四边形(拓展)　 文字语言 符号语言 两组对角分别相等 的四边形是平行四 边形 在四边形ABCD 中,因 为 ∠A ＝ ∠C,∠B ＝ ∠D,所 以 四 边 形 ABCD 为平行四边形 【例４】如图４．４Ｇ４,在▱ABCD 中,∠ABC,∠CDA 的平 分线分别交CD,AB 于点E,F．求证:四边形DFBE 是 平行四边形． 图４．４Ｇ４ 证明:因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以∠A＝∠C,∠ABC＝∠CDA． 又因为BE,DF 分别平分∠ABC,∠CDA, 所以∠２＝∠４＝ １ ２∠ABC ,∠１＝∠３＝ １ ２∠CDA． 所以∠１＝∠２＝∠３＝∠４． 又因为∠BED＝∠４＋∠C,∠DFB＝∠３＋∠A, 所以∠BED＝∠DFB． 所以四边形DFBE 是平行四边形． 　　若已知(或易证)一个四边形有一组对角相等,只 要再证明另一组对角相等,即可判定该四边形是平行 四边形． ８３１ 　题型一　平行四边形的判定条件的选用 图４．４Ｇ５ 【例１】如图 ４．４Ｇ５,在四边形 ABCD 中,AE⊥BD 于点E,CF⊥BD 于点 F,AE＝CF,BF＝DE．求证:四边形 ABCD 是平行