1.3 二次根式的运算-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

１．３　二次根式的运算 　 'F 实数的运算律、运算顺序在 二次根式的乘法中仍然适 用,乘法公式也同样适用．  (１)a × b × c＝ abc (a≥０,b≥０,c≥０)． (２)m a×nb＝mn ab (a≥０,b≥０)． 知识点一　二次根式的乘法法则 法则 a× b＝ ab(a≥０,b≥０) 语言 叙述 二次根式相乘,把被开方数(式)相乘,仍保留二次根号 示例 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)在应用此法则时,必须注意被开方数(式) 的取值范围,即a,b必须满足a≥０,b≥０,否则 a, b无意义． (２)二次根式的乘法与求积的算术平方根的运算是 互逆的． 【例１】计算: (１)１８× ２;　　　　　 (２) １ ２× ９８ ; (３)３２×(－２３); (４) ２ ７× １４ ３ × ３． 解:(１)１８× ２＝ １８×２＝ ３６＝６． (２) １ ２× ９８＝ １ ２×９８＝ ４９＝７． (３)３２×(－２ ３)＝[３×(－２)]× ２×３＝－６６． (４) ２ ７× １４ ３ × ３＝ ２ ７× １４ ３×３＝ ４＝２． ６１ 二次根式相乘有规则 (１)二次根式相乘时,把被开方数(式)和各个根号外 面的系数分别相乘,将系数相乘的积作为积的系数, 把被开方数(式)相乘的积作为积中二次根式的被开 方数(式)． (２)二次根式相乘,被开方数(式)的积中有能开得尽 方的因数(式)时,一定要开方,结果应化至最简． 知识点二　二次根式的除法法则 法则 a b ＝ a b (a≥０,b＞０) 语言 叙述 两个二次根式相除,把被开方数(式)相除,仍保留二次 根号 示例 【例２】计算: (１) ５６ ２７ ;　　　　　　(２) － ０．４５ － ０．５ ; (３)－ ２ １ ５÷ ４ １ １１ ; (４) ８b ３a÷ b２ １６a３ (a＞０,b＞０)． 解:(１) ５６ ２７ ＝ １ ２ ５６ ７ ＝ １ ２８＝ ２． (２) － ０．４５ － ０．５ ＝ ０．４５ ０．５ ＝ ９ １０＝ ３ １０ １０ ． (３)－ ２ １ ５÷ ４ １ １１＝－ １１ ５÷ ４５ １１＝－ １１ ５÷ ４５ １１＝－ １１ １５． (４) ８b ３a ÷ b２ １６a３ ＝ ８b ３a÷ b２ １６a３ ＝ ８b ３a× １６a３ b２ ＝ ８a ６b ３b ． 'F (１)在 a b ＝ a b (a≥０,b＞ ０)中,要特别注意b 的取值 范围是b＞０,而不是b≥０． (２)若被开方数是带分数, 则必须先将其化成假分数． ７１ % (１)二 次 根 式 的 系 数 就 是 这个二次根式根号外的因 数(或 因 式),包 含 前 面 的 符号;当 二 次 根 式 的 系 数 为带 分 数 时,必 须 将 其 化 为假分数． (２)整 式 加 减 运 算 中 的 交 换律、结 合 律、去 括 号 法 则、添 括 号 法 则 在 二 次 根 式的加减运算中仍然适用． (１)两个二次根式相除,可采用根号前的系数与系数 对应相除,根号内的被开方数(式)与被开方数(式)对 应相除,再把除得的结果相乘,即(m a)÷(nb)＝ (m÷n)×(a÷b),其中a≥０,b＞０,n≠０． (２)被开方数(式)相除时,可以利用法则“除以一个不 等于０的数等于乘这个数的倒数”进行约分,再得出最 终结果． 知识点三　二次根式的加减运算 在进行二次根式的加减运算时,类似于合并同类项,我们 可以把含有被开方数相同的二次根式的项进行合并． 【例３】计算: (１)８－ １８;　　　　　(２)２ １２－ １ ３＋ ４８ ３ ; (３)５０－ ３２＋ ２７; (４)１６x－ ６４x(x≥０)． 解:(１)８－ １８＝２２－３２＝(２－３)２＝－ ２． (２)２ １２－ １ ３ ＋ ４８ ３ ＝４ ３－ ３ ３ ＋ ４３ ３ ＝ (４－ １ ３＋ ４ ３) ３＝５３． (３)５０－ ３２＋ ２７＝５２－４２＋３３＝ ２＋３３． (４)１６x － ６４x ＝４ x －８ x ＝ (４－８)x ＝ －４ x． 　知识点四　二次根式的混合运算 运算