1.1 二次根式-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

第１章　二次根式 １．１　二次根式 知识点　二次根式的定义 定义 有意义的条件 像 a２＋４,b－３, ２S, ５ 这样表示算术平方根的代数式 叫做二次根式 二次根式根号内字母的取值 范围必须满足被开方数大于 或等于零,如 a中a≥０ 【例 １】在 ４, ３a,２ b２－１, a２＋b, m２＋２０, －１４４, ３ ２各式中,一定是二次根式的个数是 (　　) A．４　　　　B．３　　　　C．２　　　　D．１ 解析:根据二次根式的定义,４,m２＋２０一定是二次根 式,因为它们都含有二次根号,且被开方数是非负数; ３ ２含有三次根号,不是二次根式; ３a,２b２－１,a２＋b中虽然含有二次根号,但被开 方数３a,b２－１,a２＋b 可能为负数,所以不一定是二 次根式; －１４４的 被 开 方 数 －１４４ 是 负 数,一 定 不 是 二 次 根式． 答案:C 【例２】当x 取什么实数时,代数式 x＋１ (x－３)２ 在实数范围 内有意义? 解:要使代数式 x＋１(x－３)２ 在实数范围内有意义,必须同时 保证分母不为０,被开方式是非负的, 　 F' 在二次根式中,被开方式可 以是数,也可以是含有字母 的代数式,但字母的取值必 须使被开方式的值是一个 非负数． １ 　 即(x－３)２≠０,x＋１≥０, 所以x≥－１,且x≠３． 确定二次根式中字母的取值范围 若二次根式在实数范围内有意义,则要考虑的是 被开方式大于或等于０,由此可列出不等式．特别地, 当给出的式子中含有分母时,要注意分母不能等于０． 　 １．要使代数式 １－２x有意 义,则x 的最大值是 　． ２．当x 是怎样的实数时,下 列各式在实数范围内有 意义? (１)x－１＋ x－４; (２)２x＋３＋ １ x＋１ ; (３)x＋４－ １ ３－x ． 题型一　二次根式有意义的条件的应用　 确定被开方式中所含字母的取值范围 【例１】当x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有 意义? (１)x－π;　　　　　　　　(２) ４－x x＋２ ; (３)x＋５－ ３－２x; (４) x ２x－１ ． 审题关键:二次根式 a有意义的条件是a≥０,分式 A B 有 意义的条件是B≠０．当二次根式与分式相结合时,要 分别保证每一部分都有意义． 破题思路:(１)要满足x－π≥０;(２)要满足４－x≥０, 且x＋２≠０;(３)要满足x＋５≥０,且３－２x≥０; (４)要满足２x－１＞０． 解:(１)由题意,得x－π≥０, 解得x≥π． 当x≥π时,x－π在实数范围内有意义． (２)由题意,得 ４－x≥０, x＋２≠０,{ 解得x≤４,且x≠－２． ２ 当x≤４,且x≠－２时, ４－x x＋２ 在实数范围内有 意义． (３)由题意,得 x＋５≥０, ３－２x≥０,{ 解得－５≤x≤ ３ ２． 当－５≤x≤ ３ ２ 时,x＋５－ ３－２x在实数范围内 有意义． (４)因为 ２x－１为分母,所以２x－１＞０, 解得x＞ １ ２． 当x＞ １ ２ 时, x ２x－１ 在实数范围内有意义． " 求字母取值范围的三种常见类型 (１)单独一个二次根式,要保证被开方式大于或等 于０; (２)多个二次根式的组合,要列出不等式组,求出不 等式组的解集; (３)二次根式与分式、零指数幂或负整数指数幂的 组合,所求取值范围在保证二次根式有意义的同 时,还要去掉使分式分母、零指数幂或负整数指数 幂的底数等于０的值．
利用二次根式有意义的条件求值 【例２】若y＝２ ２x－１＋３ １－２x ＋ １ ３ ,则１ x＋ １ y ＝ ． 审题关键:要求代数式的值必须先求x,y 的值．由于 已知条件只有一个等式,且没有给出任何字母的 值,因此解答本题的关键是运用二次根式有意义的 条件,并利用结论“若a≥b,且a≤b,则a＝b”确定 字母x 的取值． 　 ３．如 果 y ＝ ２x－５ ＋ ５－２x －３,那 么 ２xy 的值是多少? ３ 　 ４．A,B 两 船 同 时 同 地 出 发,A 船 以 x km/h 的 速度向正北方向行驶,B 船以５km/h的速度向 正西方向行驶,行驶时 间为２h． (１)用含x 的代数式表 示两船的距离d(km); (２)当x＝１２时,两船相 距多少千米? 解析:由 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件,得 ２x－１≥０ , １－２x≥０,{ 即 x≥ １ ２ , x≤ １ ２ , ì î í ï ïï ï ïï 所以x＝ １ ２． 将x＝ １ ２ 代入等式,得y＝ １ ３ , 所以 １ x＋ １ y ＝２＋３＝５． 答案:５ " 巧用隐含条件求值 在含有二次根式的等式中,若其中含有两个未 知数,表面上看不易求出两个未知数的值,但巧用 a 的隐含条件a≥０来建立不等式(组