2.7 正方形-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

２．７　正方形 'F (１)正 方 形 既 是 特 殊 的 菱 形(特 殊 在 有 一 个 角 是 直 角),又 是 特 殊 的 矩 形(特 殊在有一组邻边相等),更 是特殊的平行四边形． (２)用 图 示 法 表 示 平 行 四 边形、菱 形、矩 形、正 方 形 之间的从属关系． 正方形既是矩形,又是菱形． 　知识点一　正方形 　正方形与其他特殊四边形的关系 综上所述,有一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形是正方形． 【例１】下列说法正确的是 (　　) A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角,且一组邻边相等的平行四边形是 正方形 D．菱形的对角线相等且互相平分 解析:从菱形和矩形的定义看,A项和B项中的“四边形” 应改为平行四边形;D项中菱形的对角线不一定相等; C项既能说明该平行四边形是矩形,又能保证它是菱 形,因此它是正方形． 答案:C 　　利用定义判定一个四边形是正方形,下面三个条 件缺一不可: (１)是平行四边形; (２)有一组邻边相等; (３)有一个角是直角． ６２１ 　知识点二　正方形的性质 性质 符号语言 图示 边 四条边相等 因为四边形ABCD 是正方 形,所以AB＝BC＝CD＝ DA 角 四个角都是 直角 因为四边形ABCD 是正方 形,所以∠ABC＝∠BCD＝ ∠CDA＝∠DAB＝９０° 对 角 线 对 角 线 相 等,且 互 相 垂直平分 因为四边形ABCD 是正方 形,所以 AC＝BD,AC⊥ BD,OA＝OB＝OC＝OD 对 称 性 正方形是中心对称图形,对角线的交点是 它的对称中心 正方形是轴对称图形,两条对角线所在直 线,以及过每一组对边中点的直线都是它 的对称轴 正方形ABCD 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)正方形的对角线与边的夹角为４５°． (２)周长相等的四边形中,正方形的面积最大． (３)正方形的对角线互相垂直,因此正方形的面积 也可以用对角线长度乘积的一半来计算． (４)正方形一条对角线上的一点到另一条对角线 两端点的距离相等． 图２．７Ｇ１ 【例２】如图２．７Ｇ１,四边形ABCD 是正方 形,对角线 AC 与BD 相交于点O,若 AO＝２,试求: (１)∠ABD 的度数; (２)BD 的长; (３)正方形ABCD 的面积． 解:(１)因为四边形ABCD 是正方形, 所以∠ABC＝９０°, 所以∠ABD＝ １ ２∠ABC＝４５°． 'F 平行四边形、矩形、菱形、 正方形的性质对比 边 角 对角线 平行 四边 形 对边平 行、相等 对角 相等 对角线互 相平分 菱形 对边平 行、四条 边相等 对角 相等 对角线互 相垂直 平分 矩形 对边平 行、相等 四个角 都是直 角 对角线互 相平分且 相等 正方 形 对边平 行、四条 边相等 四个角 都是直 角 对角线互 相垂直平 分且相等  (１)正方形的每条对角线都 平分一组对角． (２)正方形的每一条对角线 都把正方形分成两个全等 的等腰直角三角形,两条对 角线把正方形分成四个全 等的小等腰直角三角形． ７２１ 一组邻边相等的矩形是正 方形． 'F 判 定 正 方 形 的 一 般 顺 序: 先证明它是平行四边形→ 再 证 明 它 是 菱 形 (或 矩 形)→ 最 后 证 明 它 是 正 方形． (２)因为四边形ABCD 是正方形, 所以AO＝CO,AC＝BD． 所以BD＝AC＝２AO＝２×２＝４． (３)S正方形ABCD＝ １ ２AC 􀅰BD＝ １ ２×４×４＝８． (１)正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质, 还有正方形特有的性质,因此,要从边、角、对角线三 个方面分类理解和掌握,以防混淆． (２)正方形被两条对角线分成四个等腰直角三角形, 因此,在正方形中解决问题时,常用到等腰三角形和 直角三角形的性质及勾股定理等相关知识． 　知识点三　正方形的判定 图２．７Ｇ２ 【例３】如图２．７Ｇ２,在四边形ABCD 中,AB＝BC,对 角 线 BD 平 分 ∠ABC,P 是BD 上一点,过点P 作PM ⊥AD,PN ⊥CD,垂足分 别