2.2.1 平行四边形的性质-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

２．２　平行四边形 ２．２．１　平行四边形的性质 % (１)平 行 四 边 形 包 含 两 层 含义: ①是四边形; ②两组对边分别平行． 若四 边 形 的 一 组 对 边 平 行,则 该 四 边 形 不 一 定 是 平行四边形． (２)平 行 四 边 形 的 概 念 可 以看 作 是 判 定,也 可 以 看 作是 性 质,即 两 组 对 边 分 别平行的四边形是平行四 边形;平 行 四 边 形 的 两 组 对边分别平行． 　知识点一　平行四边形 示意图 符号语言 图２．２．１Ｇ１ 如图２．２．１Ｇ１,在四边形ABCD 中,若 AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形用“▱”表示, 如平行四边形ABCD 记作“▱ABCD”, 读作“平行四边形ABCD”． 平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 AD 和AB,AD 和DC,DC 和BC,BC 和AB,共有四组 对边 AB 和DC,AD 和BC,共有 两组 角 邻角 ∠BAD 和 ∠ADC,∠ADC 和∠DCB,∠DCB 和∠ABC, ∠DAB 和 ∠ABC,共 有 四组 对角 ∠BAD 和 ∠BCD,∠ADC 和∠ABC,共有两组 对角线 AC 和BD,共有两条 平行四边 形ABCD ８５ 【例１】如图２．２．１Ｇ２所示,在▱ABCD 中,EF∥AB, GH∥AD,EF 与GH 相交于点O,图中有多少个平 行四边形? 请把它们表示出来． 图２．２．１Ｇ２ 解:９个．在▱ABCD 中,因为EF∥AB,GH∥AD, 所以EF∥AB∥DC,GH∥AD∥BC． 所以除▱ABCD 外,一个单独的四边形是平行四边形 的有 ▱AGOE,▱GBFO,▱OFCH,▱EOHD;由两 个四边形组成的平行四边形有▱AGHD,▱GBCH, ▱ABFE,▱EFCD． 分类数个数,不重也不漏 数几何图形的个数时,往往带有很大的盲目性, 结果不是多数了就是漏数了．若将几何图形分类(按顺 序或大小)计数,就能做到不重不漏． 　知识点二　平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形 的对边相等 因为四边形ABCD 是平 行四 边 形,所 以 AD ＝ BC,AB＝DC 角 平行四边形 的对角相等 因为四边形ABCD 是平 行四边形,所以∠BAD＝ ∠BCD,∠ABC＝∠ADC 对 角 线 平行四边形 的对角线互 相平分 因为四边形ABCD 是平 行四 边 形,所 以 OA ＝ OC＝ １ ２AC ,OB＝OD＝ １ ２BD 平行四边 形ABCD ９５  (１)若 一 条 直 线 过 平 行 四 边 形 两 条 对 角 线 的 交 点, 则该直线平分平行四边形 的周长和面积． (２)因 为 平 行 四 边 形 的 对 边分 别 平 行,因 此 利 用 平 行线 的 性 质,还 可 以 得 到 平行四边形的邻角互补． 'F 平行四边形的性质的应用 (１)利 用 边 的 性 质 可 以 证 明两边平行或两边相等． (２)利 用 角 的 性 质 可 以 证 明两角相等或两角互补． (３)利 用 对 角 线 的 性 质 可 以证明线段相等或线段之 间的倍分关系． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:平行四边形的性质从对边、对角和对角线三 个方面揭示了它们之间的数量关系． 【例２】如图２．２．１Ｇ３,已知▱ABCD． 图２．２．１Ｇ３ (１)若▱ABCD 的周长为３０cm,两邻边的长度之比为 ２∶３(AB＜BC),求它的各边的长． (２)若∠A＋∠C＝１２０°,求平行四边形各角的度数． 解:(１)因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AB＝DC,BC＝AD． 又因为两邻边的长度之比为２∶３(AB＜BC), 所以可设AB＝２xcm,则BC＝３xcm． 依题意,可列方程２x＋３x＋２x＋３x＝３０． 解得x＝３． 所以２x＝２×３＝６,３x＝３×３＝９． 所以AB＝DC＝６cm,BC＝AD＝９cm． (２)在▱ABCD 中,∠A＝∠C,∠B＝∠D． 因为∠A＋∠C＝１２０°, 所以∠A＝∠C＝６０°． 又因为AB∥CD, 所以∠D＝１８０°－∠A＝１８０°－６０°＝１２０°． 所以∠B＝∠D＝１２０°． 【例３】如图２．２．１Ｇ４,在▱ABCD 中,AC 与BD 相交于点 O,