1.4 角平分线的性质-【教材解读】2024春八年级下册数学（湘教版)

１．４　角平分线的性质 　知识点一　角平分线的性质定理 内容:角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 表示方法 图１．４Ｇ１ 如图１．４Ｇ１,点P 在 ∠AOB 的平分线 上,且PD⊥OA, PE⊥OB PD＝PE 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)这里的“距离”指的是点到角的两边的垂 线段的长度． (２)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依 据,不需要再来证明三角形全等． (３)使用该性质的前提条件是图中有角平分线和 垂直条件． 【例１】如图１．４Ｇ４,在△ABC 中,∠C＝９０°,AD 平分 ∠CAB,BC＝８cm,BD＝５cm,点D 到直线AB 的 距离是　　　　cm． 图１．４Ｇ４ 　　　　　　 图１．４Ｇ５ 解析:如图１．４Ｇ５,过点D 作DE⊥AB 于点E, 则点D 到直线AB 的距离是DE 的长． 因为∠C＝９０°,AD 平分∠CAB, 所以DE＝CD． 'F 角平分线性质的“两误区” (１)垂足的位置不对:如图 １．４Ｇ２,垂 线 段 的 垂 足 应 在 角的两边上,而不是在角平 分线上． 图１．４Ｇ２ (２)有 相 等 无 垂 直:如 图 １．４Ｇ３,PC ＝PD,但 PC, PD 的长不是点P 到OA, OB 的距离． 图１．４Ｇ３ 所以这两种图形都不能应 用角的平分线的性质． １３ 'F (１)注 意 不 能 缺 少 PD ⊥ OA,PE⊥OB这两个条件． (２)利 用 角 平 分 线 性 质 定 理的 逆 定 理 时,通 常 过 角 内部的一点作两边的垂线 (不能 忽 视“角 的 内 部”这 一条 件),即 添 加 辅 助 线, 这是解决此类问题的基本 方法． % 角平分线的性质定理常用 于证明线段相等．角平分线 的性质定理的逆定理常用 于证明角相等． 又因为BC＝８cm,BD＝５cm, 所以DE＝CD＝３cm, 即点D 到直线AB 的距离是３cm． 答案:３ 利用角平分线的性质求线段长度的方法 　　已知一个点在某个角的平分线上时,一般过该点 向角的两边作垂线,运用“角的平分线上的点到角的 两边的距离相等”寻找线段的相等关系．有时可结合全 等三角形建立未知线段与已知线段的联系,从而求出 待求线段的长度． 　知识点二　角平分线的性质定理的逆定理 内容:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分 线上． 表示方法 图１．４Ｇ６ 如图１．４Ｇ６,PD⊥ OA,PE⊥OB,且 PD＝PE 点P 在 ∠AOB 的 平分线上 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:角的平分线可以看作是由角的内部到角的 两边距离相等的所有点组成的射线． 【例２】如图１．４Ｇ７,BE＝CF,BF⊥AC 于点F,CE⊥AB 于点E,BF 和CE 交于点D．求证:AD 平分∠BAC． 图１．４Ｇ７ ２３ 证明:因为BF⊥AC,CE⊥AB, 所以∠DEB＝∠DFC＝９０°． 在△BDE 和△CDF 中, ∠DEB＝∠DFC, ∠BDE＝∠CDF, BE＝CF, ì î í ï ï ï ï 所以△BDE≌△CDF(AAS)． 所以DE＝DF． 又因为BF⊥AC,CE⊥AB, 所以AD 平分∠BAC． 知识点三　 三角形三条角平分线交点的性质　 文字语言 数学语言 三角形三条角平 分 线 相 交 于 一 点,这点到三角 形 三 边 的 距 离 相等 在△ABC 中,各角的平分线交于点O,过 点O 作OD⊥AB,OF⊥BC,OE⊥AC,垂 足分别为点D,F,E,则OD＝OF＝OE 【例３】如图１．４Ｇ８,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平 分线交于点O,OD⊥AB 于点D,OE⊥BC 于点E, OF⊥AC 于点F．求