19.3 正方形-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

１９．３　正方形 (１)正方形不仅是特殊的平 行四边形,而且是特殊的矩 形和菱形． (２)用 图 示 表 示 平 行 四 边 形、菱形、矩形、正方形之间 的关系． 正方形既是矩形,又是菱形． 　知识点一　正方形的概念 　正方形与其他特殊四边形的关系 综上所述,有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四 边形是正方形． 【例１】下列说法正确的是 (　　) A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形 是正方形 D．菱形的对角线相等且互相平分 解析:从菱形和矩形的定义看,A项和B项中的“四边形” 应改为“平行四边形”;C 项既能说明该平行四边形是 矩形,又能保证它是菱形,所以它是正方形;D 项中菱 形的对角线不一定相等． 答案:C 　　利用定义判定一个四边形是正方形,下面三个条 件缺一不可: (１)是平行四边形; (２)有一组邻边相等; (３)有一个角是直角． ００２ 　知识点二　正方形的性质 图形 性质 符号语言 正方形ABCD 边 四条边都相等 因为 四 边 形 ABCD 是 正 方 形,所 以 AB ＝ BC＝CD＝DA 角 四个角 都是直角 因为 四 边 形 ABCD 是 正方形,所以 ∠ABC＝ ∠BCD ＝ ∠CDA ＝ ∠DAB＝９０° 对 角 线 对角线相等且 互相垂直平分 因为 四 边 形 ABCD 是 正方形,所以AC＝BD, AC⊥BD,OA ＝OB＝ OC＝OD 对 称 性 正方形既是轴对称图形 (有 ４ 条对称 轴),又是中心对称图形 图１９．３Ｇ１ 【例２】如图１９．３Ｇ１,四边形ABCD 是正方 形,对 角 线 AC 与BD 相 交 于 点 O,若 AO＝２,试求: (１)∠ABD 的度数; (２)BD 的长; (３)正方形ABCD 的面积． 解:(１)因为四边形ABCD 是正方形, 所以∠ABC＝９０°, 所以∠ABD＝ １ ２∠ABC＝４５°． (２)因为四边形ABCD 是正方形, 所以AO＝CO,AC＝BD． 所以BD＝AC＝２AO＝２×２＝４． (３)S正方形ABCD＝ １ ２AC 􀅰BD＝ １ ２×４×４＝８． 　  (１)正方形的每条对角线都 平分一组对角． (２)正方形的每条对角线都 把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形,两条对角 线把正方形分成四个全等 的小等腰直角三角形． １０２ 一组邻边相等的矩形是正 方形． 判定正方形的一般顺序:先 证明它是平行四边形,再证 明它是菱形(或矩形),最后 证明它是正方形． (１)正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质, 因此,要从边、角、对角线三个方面理解和掌握,以防 混淆． (２)正方形被两条对角线分成多个等腰直角三角形, 因此,在正方形中解决问题时,常用到等腰三角形和 直角三角形的性质及勾股定理等相关知识． 知识点三　正方形的判定　 图１９．３Ｇ２ 【例３】如图１９．３Ｇ２,在四边形ABCD 中,AB＝BC,对 角 线 BD 平 分 ∠ABC,P 是BD 上一点,过点 P 作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别 为点 M、N． 求证:(１)∠ADB＝∠CDB; (２)若∠ADC＝９０°,则四边形 MPND 是正方形． 证明:(１)因为BD 平分∠ABC,所以∠ABD＝∠CBD． 又因为BA＝BC,BD＝BD, 所以△ABD≌△CBD,所以∠ADB＝∠CDB． (２)因为PM⊥AD,PN⊥CD, 所以∠PMD＝∠PND＝９０°． 又因为∠ADC＝９０°,所以四边形 MPND 是矩形． 因为∠ADB＝∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD, 所以PM＝PN． 所以四边形 MPND 是正方形． ２０２ 通过特殊四边形间的关系图选择判定 四边形为正方形的方法 　 题型一　与正方形性质有关的计算问题 利用正方形的性质解决与线段长度、图形面积有 关的问题 图１９．３Ｇ３ 【例１】如图１９．３Ｇ３,正方形ABCD 的边长 为４,E、F 分别为DC、BC 的中点． (１)求证:△ADE≌△ABF． (２)求△AEF 的面积． 审题关键:(１)利用由正方形性质得到的 边、角的等量关系证明两个三角形全等．(２)底和高 不易求的三角形的面积可转化为几个易求几何图 形面积的和或差． 破题思路:(１)根据正方形的性质,找出 △ADE 和 △ABF 中相等的边和角,进而证明全等． (２)由题意,知△ABF、△ADE、△CEF 均为直角 三角 形,故 先 求 DE、BF、CE、CF 的 长,再 根 据 S△AEF ＝S正方形ABCD －S△ADE －S△ABF－S△CEF 得出 结果． 　 １．如 图 １９．３Ｇ４,正 方 形 ABCD 的边长为８,在各 边上顺次截AE＝BF＝ CG＝DH＝５,