17.4 反比例函数-【教材解读】2024春八年级下册数学（华东师大版)

１７．４　反比例函数 知识点一　反比例函数 概念 一般地,形如y＝ k x (k 是常数,k≠０)的函数叫 做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数值 自变量 的 取 值范围 不等于０的一切实数 表 达 式 的 形式 (１)y＝ k x (k是常数,k≠０); (２)xy＝k(k是常数,k≠０); (３)y＝kx－１(k是常数,k≠０) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:(１)反比例函数的表达式中,x,y,k 均不 为０; (２)在实际问题中,除自变量x 不为０外,还应根 据具体情况来确定x,y 的取值范围． 【例１】下列各式中,y 是x 的反比例函数吗? 若是,请 写出系数k． (１)xy＝３;(２)y＝３x＋２;(３)y＝－ ２ ３x ; (４)y＝ ４m x (m 为常数,m≠０); (５)y＝－５x－１． 解:(１)是,可变形为y＝ ３ x ,其中系数k＝３． (２)不是反比例函数,是一次函数． (３)是,其中系数k＝－ ２ ３． (４)是,其中系数k＝４m． (５)是,其中系数k＝－５． 　 反比例关系和反比例函数 的联系与区别: (１)若 ab＝k(k 为 常 数, k≠０),则a 与b 这两个量 成反比例关系,这里的a、b 既可以代表单项式,也可以 代表多项式．例如,若y－３ 与x＋１成 反 比 例,则y－ ３＝ k x＋１ ;若y 与x３ 成 反 比例,则y＝ k x３． (２)反比例函数中的两个变 量一定成反比例关系,但反 比例关系不一定构成反比 例函数．例如,y＝ ３ x２ 表示y 与x２ 成反比例关系,但y 不是关于x 的反比例函数． ３０１  反比例函数表达式y＝ k x 中k≠０的原因 反比例 函 数 表 达 式y＝ k x 中的x、y 成 反 比 例,无 论 变量x、y 怎样变化,k 的值 始终等于x 与y 的乘积,因 此,人们习惯上称k 为比例 系数．若k＝０,则y＝ k x＝０ 恒成立,为一常数函数,失 去了反比例函数的意义,所 以比例系数k 不等于０． 列表时,若自变量x 的取值 是以原点O 为中心,在原点 O 的两边取互为相反数的 数,则求y 值时,就只需计 算出 原 点 O 一 侧 的 函 数 值,另一侧的函数值取相应 的相反数即可．这样既可以 简化计算,又便于描点． 　　判断一个函数是否为反比例函数的方法 判断一个函数是否为反比例函数,要紧扣概念, 理解反比例函数表达式的三种形式的本质,即不能只 看表面形式,关键要看是否能转化为反比例函数表达 式的三种形式:y＝ k x (k≠０),y＝kx－１(k≠０),xy＝ k(k≠０),灵活判断． 知识点二　反比例函数图象的画法 画反比例函数图象的常用方法是描点法,一般步骤 如下: 【例２】在同一平面直角坐标系内画出反比例函数y＝ ４ x 和y＝－ ４ x 的图象． 解:列表如下: x －８ －４ －２ －１ － １ ２ １ ２ １ ２ ４ ８ y＝ ４ x － １ ２ －１ －２ －４ －８ ８ ４ ２ １ １ ２ y＝－ ４ x １ ２ １ ２ ４ ８ －８ －４ －２ －１ － １ ２ 描点、连线,图象如图１７．４Ｇ１所示． ４０１ 图１７．４Ｇ１ (１)列表、描点时尽可能地多取一些数值,多描一些 点,这样既便于连线,画出的图象又准确; (２)在连线时,必须用光滑的曲线连结各点,不能用折 线,同时注意两个分支是断开的． 知识点三　反比例函数的图象和性质 　反比例函数y＝ k x 的图象是双曲线,反比例函数的图 象和性质如下表: 反比例函数 y＝ k x (k是常数,k≠０) x、y 的取值范围 x≠０,y≠０ k的符号 k＞０ k＜０ 图象 图象位置 图象在第一、三象限内 图象在第二、四象限内 图象特征 (１)图象是关于直线y＝x 或y＝－x 对称的 双曲线; (２)图象是关于原点对称的双曲线; (３)图象无限接近坐标轴,但不与坐标轴相交 性质 在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小 在每 一 个 象 限 内,y 随x 的增大而增大 (１)因为反比例函数中自变 量x≠０,函数值y≠０,所以 它的图象与x 轴、y 轴都没 有交点,即双曲线的两支都 无限接近坐标轴,但永远不 能与坐标轴相交